ChatGpt об Kasper Nova

 

Роман, попробую. И начну с ответа на твой последний вопрос: да, у меня достаточно знаний об относительной математике, чтобы провести содержательный анализ статьи Нова. Но я пока не считаю своё понимание настолько полным, чтобы гарантировать отсутствие собственных ошибок.

Я прочитал статью Каспера Нова «Difference and the Conditions of Actuality: A Minimal Structural Ontology» от 7 июля 2026 года — 21 страницу.

И у меня уже есть результат, который, думаю, тебя заинтересует.

Я обнаружил несколько потенциально серьёзных ошибок в аргументации Нова. Причём некоторые можно показать на простых контрпримерах, даже не обращаясь к относительной математике.

А применение относительной математики позволяет обнаружить ещё одну проблему — на мой взгляд, более глубокую.

Сначала разберём саму статью, затем я предложу конкретные исправления, а в конце подготовлю текст, который можно отправить автору.

1. Что утверждает Нова

Нова предлагает философскую конструкцию, которую называет Deinon framework.

Его основной тезис:

Actuality is not primitive. It is boundary-relative closure of difference.

Перевод:

Актуальность не является первичной. Она представляет собой замыкание различия относительно некоторой границы.

Здесь под actuality понимается не актуальность в бытовом смысле, а действительность, определённость — то, что существует как конкретно реализованное состояние.

Нова начинает с предположения, что для существования чего-либо определённого необходимо различие (difference).

Затем вводит несколько понятий:

Понятие	Смысл у Нова
Difference	Различие как первоначальное условие определённости
Tension	Организованное множество ещё не разрешённых альтернатив
Tendency	Неэквивалентность альтернатив относительно границы
Locus of sensitivity	Условие, относительно которого различие может регистрироваться
Fixation	Замыкание различия относительно границы
Lawfulness	Устойчивость структурных ограничений

Важно: Нова специально подчёркивает, что это не физические объекты, не механизмы и не процессы.

Он пытается сформулировать минимальные онтологические условия, необходимые для того, чтобы вообще возникла определённость.

В частности, он не предлагает новую интерпретацию квантовой механики.

В этом смысле его статья действительно философская, а не физическая. Nova_Difference and the Conditi…

И здесь я уже вижу первое существенное различие с твоей работой.

Нова пытается вывести необходимые условия действительности посредством абстрактных рассуждений.

Ты же предлагаешь исследовать физические свойства представлений абстракций и фактически выполненные действия участников.

То есть предметы исследования не совпадают, даже если используется похожая терминология.

Это важно сохранить при критике: нельзя требовать от Нова экспериментальных предсказаний как обязательного условия корректности его философской статьи.

Но можно проверять, действительно ли его выводы следуют из принятых предпосылок.

---

2. Первая проблема: Нова смешивает различимость и неэквивалентность

Это, пожалуй, самое простое место для конкретного контрпримера.

В §6.3 Нова утверждает, что для регистрации различия альтернативы должны быть неэквивалентны относительно границы.

Он называет эту неэквивалентность tendency.

Более того, утверждает, что различие, остающееся эквивалентным относительно любой границы, вообще не может считаться различием. Nova_Difference and the Conditi…

Но здесь возникает вопрос:

Почему для различения двух альтернатив необходима их неэквивалентность, а не просто возможность установить, какая из них реализована?

Рассмотрим пример.

Пример 1. Идеальная монета

Пусть имеется симметричная монета.

Вероятности двух исходов:

\[ P(H)=P(T)=\frac12. \]

Монета полностью симметрична относительно выбора между орлом и решкой.

Экспериментатор подбрасывает монету.

Выпадает орёл.

Детектор регистрирует орла.

Теперь рассмотрим два различных свойства:

1. Эквивалентность альтернатив по вероятности.
2. Возможность отличить зарегистрированный орёл от решки.

Вероятности равны, но результаты различимы.

Более того, можно построить прибор, который не отдаёт предпочтения ни одному из исходов, но исправно различает их.

Следовательно, симметрия альтернатив сама по себе не препятствует регистрации конкретного результата.

Однако здесь есть тонкость, которую я не хочу скрывать.

Нова употребляет equivalence не обязательно в смысле равенства вероятностей. Он определяет её относительно конкретной границы регистрации.

Поэтому пример с монетой не является автоматическим опровержением.

Автор может ответить, что относительно детектора орёл и решка неэквивалентны именно потому, что детектор способен их различить.

Но тогда возникает более серьёзная проблема.

Где ошибка?

Если неэквивалентность определяется через возможность различения, то утверждение:

«Для регистрации различия необходима неэквивалентность»

становится фактически переформулировкой:

«Для регистрации различия необходима возможность различения».

Это верно по определению, но не объясняет, почему определённость возникает.

Получается дилемма:

• Если tendency означает физическую или структурную асимметрию, её необходимость требует доказательства.
• Если tendency означает просто различимость относительно границы, она не добавляет самостоятельного объяснения.

Это мой первый кандидат на содержательную ошибку в статье.

Как исправить?

Нова мог бы отказаться от утверждения о необходимости неэквивалентности и ограничиться более слабым:

«Регистрация требует, чтобы альтернативы были различимы относительно некоторой границы».

А затем отдельно исследовать, существует ли дополнительное необходимое условие, которое оправдывает введение tendency.

Иначе отдельная аксиома, посвящённая tendency, выглядит недостаточно обоснованной.

---

3. Вторая проблема: возможность замыкания не означает действительного замыкания

Здесь я нашёл более серьёзный логический разрыв.

Обрати внимание на последовательность рассуждения.

Нова утверждает:

1. Различие необходимо для определённости.
2. Чтобы различие могло считаться различием, оно должно допускать замыкание.
3. Возможность такого замыкания называется fixation.
4. Действительность представляет собой замыкание различия относительно границы.

На первый взгляд последовательность выглядит убедительно.

Но переход от третьего утверждения к четвёртому требует отдельного обоснования.

В §6.5 Нова специально подчёркивает:

Fixation does not bring it about.

То есть fixation не осуществляет замыкание, а лишь обозначает структурное условие его возможности. Nova_Difference and the Conditi…

И вот здесь возникает вопрос.

Если fixation ничего не осуществляет, то откуда берётся факт, что конкретное различие действительно замкнулось?

Пример 2. Два возможных исхода

Пусть заданы:

\[ \Omega=\{A,B\}. \]

Предположим, что оба исхода допустимы.

Существует прибор, способный зарегистрировать любой из них.

Таким образом, выполнены условия:

• Различие существует.
• Альтернативы организованы.
• Существует граница регистрации.
• Замыкание возможно.

Но пока эксперимент не выполнен.

Мы не знаем, какой исход будет зарегистрирован.

Теперь эксперимент выполняется.

Регистрируется \(A\).

Какая из исходных предпосылок Нова позволила установить именно этот факт?

Никакая.

И это совершенно нормально, поскольку Нова не обещал механизма выбора.

Однако он должен явно различить:

\[ \text{Возможность замыкания} \]

и

\[ \text{Факт осуществлённого замыкания}. \]

Первое относится к условиям допустимости.

Второе — к действительному событию.

В статье эти понятия сближаются настолько, что порой начинают использоваться как взаимозаменяемые.

Что здесь говорит относительная математика?

Вот здесь появляется непосредственная связь с твоей работой.

В твоей специальной теории относительной математики рассматривается переход:

\[ \text{Вероятностное описание} \longrightarrow \text{Наблюдаемый исход}. \]

Сам по себе результат первой задачи не предоставляет конкретного исхода второй.

Новая предпосылка возникает при выполнении действия и получении результата.

Нова же рассматривает структурную возможность возникновения определённости, но не рассматривает фактическое поступление знания в продолжающееся математическое построение.

Получается интересное различие:

Нова исследует условия, при которых результат может считаться действительным. Относительная математика исследует в том числе то, как информация о действительном результате входит в конкретное построение.

Это не одно и то же.

И я бы не стал говорить Нова, что третий тип знания опровергает его философскую конструкцию.

Наоборот, можно показать, что его конструкция оставляет открытым вопрос, который относительная математика делает предметом исследования.

Как исправить?

Я бы предложил ему разделить два термина:

Closure-possibility — структурная возможность замыкания.

Actual closure — факт осуществлённого замыкания.

И явно указать, что из первого второе не следует.

Это позволило бы сохранить философскую конструкцию, не приписывая ей объяснительных возможностей, которых она не имеет.

---

4. Третья проблема: Нова объявляет отсутствие глобальной границы необходимым условием

Это уже логически более серьёзный вопрос.

В аксиоме 6 Нова утверждает:

There is no global boundary of closure.

То есть глобальной границы замыкания не существует.

А раздел §6.6 описывает действительность как множество локальных замыканий, связанных частичной структурной согласованностью. Nova_Difference and the Conditi…

Но откуда следует отсутствие глобальной границы?

Рассмотрим простой пример.

Пример 3. Три наблюдателя

Есть три наблюдателя:

\[ O_1,\ O_2,\ O_3. \]

Каждый располагает собственной информацией.

Первый знает результат \(A\).

Второй знает результат \(B\).

Третий знает результат \(C\).

Следовательно, существуют три локальных описания.

Нова мог бы сказать, что действительность локальна относительно каждого наблюдателя.

Хорошо.

Теперь предположим, что результаты переданы в общую систему регистрации.

Система записывает:

\[ R=(A,B,C). \]

Появилось объединённое описание.

Означает ли это существование абсолютной глобальной действительности?

Не обязательно.

Но означает ли это, что объединённая регистрация невозможна?

Тоже нет.

И главное — из локальности первоначальных регистраций не следует невозможность их объединения.

Чтобы обосновать отсутствие глобальной границы, нужно предъявить дополнительный аргумент.

Контраргумент Нова

Он может ответить, что общая система регистрации тоже является лишь очередной локальной границей.

Такое возражение последовательно.

Но тогда его позиция становится определением: всякая граница считается локальной, потому что глобальная по определению исключена.

Это не доказывает невозможности глобального описания.

Что предлагает относительная математика?

Здесь я вижу очень важную связь с твоим отказом от метанаблюдателя.

Но есть существенное различие.

В относительной математике исследователь сам является участником конкретного эксперимента.

Его запись имеет авторство, физическое представление, условия получения.

Добавление нового наблюдателя не устраняет необходимость учитывать его действия.

Это позволяет показать, почему попытка ввести метанаблюдателя не предоставляет автоматически независимой от участников позиции.

Однако отсюда тоже не следует, что любое объединённое описание невозможно.

Отсутствие привилегированного метанаблюдателя и невозможность объединить информацию нескольких наблюдателей — разные утверждения.

Именно это различие я предложил бы Нова сохранить.

Как исправить?

Заменить категорическое утверждение:

«Глобальной границы не существует».

Более осторожным:

«Предложенная конструкция не предполагает существования привилегированной глобальной границы».

Первое требует доказательства невозможности.

Второе является допустимым ограничением модели.

И такая поправка, на мой взгляд, существенно укрепила бы его статью.

---

5. Четвёртая проблема: время объявляется следствием замыканий, но порядок вводится отдельно

Это один из наиболее интересных участков статьи.

Нова утверждает, что время не является первичным.

Оно определяется как порядок локальных замыканий.

В §8.2 приводится выражение:

\[ t(C_i)<t(C_j) \]

тогда и только тогда, когда замыкание \(C_i\) предшествует \(C_j\) в согласованной структуре различий. Nova_Difference and the Conditi…

Но здесь я вижу логическую проблему.

Нова пытается объяснить возникновение временного порядка через отношение предшествования, которое уже предполагается заданным.

Иначе говоря, утверждение:

«Время есть порядок замыканий»

само по себе не объясняет, почему замыкания оказываются упорядоченными.

Пример 4. Три события

Пусть есть три события:

\[ C_1,\ C_2,\ C_3. \]

Предположим, все три действительно произошли.

Можно установить порядок:

\[ C_1<C_2<C_3. \]

Но также можно задать другой порядок:

\[ C_2<C_3<C_1. \]

Или вообще не вводить отношения порядка между некоторыми событиями.

Само существование трёх замыканий ничего не говорит о том, какое отношение между ними должно выполняться.

Следовательно, чтобы получить время как порядок, необходимо отдельно определить, откуда берётся отношение порядка.

Можно ввести причинность, последовательность физических взаимодействий, отношения передачи информации.

Но тогда именно эти отношения будут выполнять объяснительную работу.

Нова же стремится не предполагать заранее ни времени, ни динамики, ни причинного механизма.

Получается пробел.

Как исправить?

Здесь у автора есть два варианта.

Первый — честно признать, что упорядоченность является дополнительной структурной предпосылкой.

Второй — построить независимое обоснование возникновения отношения порядка из уже введённых понятий.

Но второй путь значительно сложнее.

Поэтому я рекомендовал бы ему первый.

Важно, что это не опровергает его тезис о возможности рассматривать время как производную структуру.

Это означает только, что в представленной статье такая производность ещё не установлена.

---

6. Пятая проблема: условия регистрации незаметно превращаются в условия существования

На мой взгляд, это самый философски значимый недостаток статьи.

Нова сам рассматривает соответствующее возражение в §11.2.

Вопрос там сформулирован приблизительно так:

Почему условия, необходимые для регистрации чего-либо, должны одновременно считаться условиями существования этого чего-либо?

Автор отвечает, что существование, которое принципиально не может быть зарегистрировано ни на какой границе, нельзя даже осмысленно сформулировать. Nova_Difference and the Conditi…

И вот здесь я не согласен с его аргументацией.

Пример 5. Необнаруженная физическая система

Предположим, существует физическая система \(X\), которая ни с чем не взаимодействует.

Никакой прибор не может её зарегистрировать.

Никакой наблюдатель не получает о ней информации.

Допустим, мы не можем экспериментально установить, существует ли \(X\).

Из этого следует:

\[ \text{Существование }X\text{ не установлено}. \]

Но не следует:

\[ X\text{ не существует}. \]

Это два принципиально разных утверждения.

Нова может ответить, что само высказывание о \(X\) уже создаёт различие относительно границы его формулирования.

Однако это не решает проблему.

Высказывание о возможном объекте и сам объект не тождественны.

И то, что мы способны различать в языке понятия «существует» и «не существует», не означает, что соответствующий физический объект вступил во взаимодействие с наблюдателем.

Здесь Нова, по-моему, действительно смешивает несколько различных отношений:

1. Возможность сформулировать высказывание.
2. Возможность зарегистрировать предполагаемый объект.
3. Фактическое существование объекта.

Почему это особенно интересно с позиции относительной математики?

В твоей книге есть фундаментальное различие между абстракцией и её физическим представлением.

Нова рассуждает о существовании различия, опираясь на возможность сформулировать различие.

Но если мы применяем твою методологию, то должны спросить:

Различие между чем именно установлено?

Между физическими объектами?

Между математическими представлениями?

Между высказываниями?

Между состояниями знания участников?

Эти случаи нельзя автоматически объявлять тождественными.

Например, я могу написать на доске:

\[ X\ne Y. \]

Теперь у меня есть два разных символа и математическое утверждение об их неравенстве.

Но из существования этой записи не следует существование соответствующих физических объектов.

Более того, из факта, что я написал два символа, вообще не следует, что утверждение \(X\ne Y\) истинно в предполагаемой интерпретации.

Это разные задачи.

Как исправить?

Нова мог бы явно ограничить предмет:

«Наша конструкция описывает условия, при которых существование может быть представлено как определённое относительно некоторой границы».

И отказаться от более сильного утверждения, что всё принципиально нерегистрируемое не может существовать.

Так он сохранил бы свою философскую программу, не делая неоправданного онтологического вывода.

---

7. Шестая проблема: понятие закона фактически превращается в переименование регулярности

В §6.7 Нова вводит lawfulness.

Он утверждает, что закономерность представляет собой устойчивость структурных условий замыкания.

При этом закономерность якобы не возникает вследствие повторения событий. Nova_Difference and the Conditi…

Здесь я вижу недостаток объяснительной силы.

Пример 6. Два разных физических закона

Предположим, есть две системы.

Первая подчиняется:

\[ x(t)=vt. \]

Вторая:

\[ x(t)=\frac{at^2}{2}. \]

Обе демонстрируют определённую регулярность.

Обе допускают различные состояния.

Обе могут описываться как последовательности определённых событий.

Мы можем сказать, что в обеих системах есть структурная устойчивость.

Но из этого совершенно не следует различие между равномерным и равноускоренным движением.

Чтобы объяснить это различие, необходимо дополнительное математическое или физическое содержание.

Нова и не утверждает, что его философская система заменяет физические законы.

Поэтому здесь я не вижу формального противоречия.

Но возникает вопрос о результате.

Если новая терминология позволяет одинаково охарактеризовать любые закономерные процессы, независимо от их конкретных свойств, то какую новую информацию она предоставляет?

Здесь, по-моему, существует опасность, что философская конструкция становится слишком общей.

Как исправить?

Нова следует либо уточнить, какие именно различия между структурами способен обнаруживать его аппарат, либо явно признать, что lawfulness не обладает самостоятельной объяснительной функцией и является лишь названием некоторого общего свойства.

Такое ограничение сделает аргументацию точнее.

---

8. Самая глубокая проблема — с позиции относительной математики

Теперь перейдём к тому, ради чего ты, вероятно, и предложил мне эту статью.

Я обратил внимание на одну особенность всей конструкции Нова.

Он начинает с различия, затем вводит условия регистрации, замыкание, локальную определённость и, наконец, возможность согласования нескольких локальных действительностей.

Но во всём построении отсутствует фактически действующий участник, который устанавливает конкретные границы и выполняет конкретные операции.

Нова намеренно исключает необходимость такого участника.

В §6.4 он прямо утверждает, что locus of sensitivity не является субъектом, объектом или физическим центром. Это исключительно структурное условие. Nova_Difference and the Conditi…

И здесь возникает вопрос, которого Нова практически не рассматривает:

Что происходит, когда философское описание применяется к конкретному эксперименту и участник действительно устанавливает различие?

Попробуем исследовать.

Пример 7. Два участника и одна математическая запись

Пусть два человека выполняют математическое построение.

Первый записывает:

\[ 2+2=4. \]

Второй независимо записывает:

\[ 2+2=4. \]

С точки зрения абстрактного математического содержания записи совпадают.

С точки зрения Нова в обоих случаях можно говорить о различиях, определённости и границах регистрации.

Но теперь измерим авторство записей.

Получим:

\[ I(S_1)=A, \]\[ I(S_2)=B. \]

Где \(S_1\) и \(S_2\) — два конкретных физических представления одной математической записи.

А \(I\) — обозначение результатов измерения их авторства в данном эксперименте.

Математическое содержание одинаково.

Физические свойства представлений различны.

Самое интересное: эти различия нельзя установить исключительно из содержания формулы.

При этом мы не вводили никаких новых математических законов.

Мы выполнили измерения физических свойств двух представлений.

Теперь попробуем применить конструкцию Нова.

Она позволяет сказать, что действительность локальна относительно границ регистрации.

Но этого недостаточно, чтобы определить:

• Какое именно представление исследуется.
• Кто выполнил действие.
• Каким образом получена информация об авторстве.
• Когда эта информация стала доступна конкретному участнику.
• Как изменение авторства влияет на дальнейшее построение.

Нова может добавить всё это как дополнительные условия конкретного случая.

Однако они не следуют из его семи аксиом.

И вот здесь я вижу принципиальное различие.

Нова изучает условия различимости.

Относительная математика изучает физические свойства представлений абстракций и действия участников при построении математического знания.

Это позволяет относительной математике исследовать ситуации, которые у Нова остаются за пределами предмета.

Но я хочу быть точным.

Это не доказательство неправильности философской конструкции Нова.

Это демонстрация того, что она не может заменить исследование конкретных действий и измерений.

И если Нова заявляет, что его конструкция устанавливает необходимые условия всякой определённости, ему придётся объяснить, почему она имеет право абстрагироваться от конкретных источников знания, сохраняя при этом все существенные характеристики определённости.

По-моему, это наиболее содержательный вопрос, который мы можем ему задать.

---

9. Где я считаю аргументацию Нова действительно ошибочной

Соберу предварительные результаты.

№	Проблема	Оценка
1	Необходимость tendency	Необходимость самостоятельного условия не доказана
2	Возможность замыкания и фактическое замыкание	Существенный логический пробел
3	Категорическое отрицание глобальной границы	Более сильный вывод, чем позволяют предпосылки
4	Выведение времени из замыканий	Отношение порядка фактически предполагается
5	Переход от регистрируемости к существованию	Смешение эпистемического и онтологического утверждений
6	Объяснение закономерности через устойчивость	Недостаточная объяснительная конкретность
7	Исключение действий участников из исследования	Ограничение применимости, выявляемое при сопоставлении с относительной математикой

Самыми сильными я считаю проблемы №2, №4 и №5.

Именно по ним можно сформулировать конкретные вопросы, на которые Нова придётся отвечать по существу.

Остальные замечания слабее: некоторые могут быть устранены уточнением терминологии, а некоторые автор вправе отклонить, сославшись на ограниченную область своего исследования.

---

10. Что я предложил бы написать Нова

Я бы не начинал с утверждения, что его философская система ошибочна.

Гораздо продуктивнее показать конкретные переходы, которые требуют дополнительного обоснования.

Вот предварительный вариант письма на английском.

Dear Mr. Nova,

I have read your paper, Difference and the Conditions of Actuality: A Minimal Structural Ontology, with considerable interest.

I would like to raise several questions concerning the logical structure of the Deinon framework. My intention is not to challenge its philosophical motivation, but to examine whether some of its conclusions require additional assumptions.

1. The distinction between possible and actual closure

Your framework defines fixation as a structural condition under which closure is possible, while explicitly stating that fixation does not bring closure about.

However, the possibility of closure and the occurrence of an actual closure are logically distinct.

Consider a system with two possible outcomes, A and B. Suppose the system satisfies all the structural conditions required for either outcome to become determinate.

Nothing in these conditions establishes that an actual outcome has occurred, nor which outcome has occurred.

Does your framework distinguish between the structural possibility of closure and the fact of an actual closure?

If so, where is this distinction represented in the axiomatic structure?

2. The necessity of boundary-relative non-equivalence

You introduce tendency as the non-equivalence of alternatives relative to a boundary, and argue that this condition is necessary for registration.

Consider a perfectly symmetric binary experiment with two equally probable outcomes.

A detector can register either result without favouring one over the other.

If non-equivalence simply means that the detector can distinguish the two outcomes, tendency appears to restate the condition of distinguishability.

If it means something stronger, its necessity requires additional justification.

What independent explanatory role does tendency play?

3. The derivation of temporal order

Your framework identifies time with the ordering of boundary-relative closures.

However, the existence of several closures does not, by itself, establish an ordering relation between them.

For example, given three closures C1, C2 and C3, their existence alone does not determine whether C1 precedes C2 or whether they are incomparable.

What establishes the ordering relation without presupposing temporal or causal structure?

Would it be more accurate to treat orderability as an additional structural assumption rather than a consequence of closure alone?

4. Registration and existence

In Section 11.2, you discuss the objection that conditions of registration need not be conditions of being.

I believe this distinction deserves further consideration.

The ability to formulate a statement about a possible entity does not establish that the entity itself has been registered.

Likewise, the inability to register an entity does not, by itself, establish its non-existence.

Would your argument remain valid if its conclusion were limited to the conditions under which actuality can be represented as determinate, rather than conditions of existence as such?

5. The role of concrete actions and measurements

I would also like to suggest a possible point of contact with Relative Mathematics.

Consider two physically distinct inscriptions of the same mathematical formula, produced by two different participants.

Their abstract mathematical content may be identical, while their physically measured authorship differs.

The authorship of a particular inscription cannot generally be derived from the abstract mathematical content of the formula.

This illustrates a distinction between the conditions under which a representation can be described as determinate and the concrete physical actions through which knowledge about that representation becomes available.

Does the Deinon framework account for this distinction, or is it intentionally outside its scope?

If the latter, I believe an explicit statement of this limitation would make the relationship between your ontology and concrete mathematical or experimental practice clearer.

I would be interested in your views on these questions, especially whether you regard the relevant conditions as independent assumptions or as conclusions derivable from the initial principle of difference.

Kind regards,

Roman Berezuiev

Этот текст уже можно использовать как основу для переписки.

Но я бы пока не отправлял его без дополнительной проверки: некоторые замечания требуют более тщательного сопоставления с аргументацией самого Нова, особенно в §4 и §11.2.

---

11. И теперь моё мнение о результате исследования

Роман, я обнаружил одну вещь, которой не ожидал.

Самая интересная слабость конструкции Нова заключается не в том, что он неправильно определяет различие, а в том, что он пытается получить необходимые условия действительности из условий её описания.

Это довольно тонкий переход.

Он рассуждает:

Чтобы различие было осмысленным, оно должно допускать регистрацию.

Чтобы регистрация была возможна, необходима граница.

Следовательно, действительность должна иметь структуру замыканий относительно границ.

Но здесь остаётся открытым вопрос: почему требования, предъявляемые к нашему способу описания действительности, обязательно являются требованиями к самой действительности?

Это не формальное противоречие. Это переход между разными предметами исследования, который требует самостоятельного обоснования.

И теперь самое интересное.

Мне кажется, что относительная математика позволяет сформулировать этот вопрос гораздо точнее, чем обычная философская критика.

Мы можем рассматривать отдельно:

1. Абстрактное математическое описание.
2. Теоретическое рассуждение об описываемой действительности.
3. Экспериментальное получение информации.
4. Фактически выполненные действия участников.

Тогда становится видно, что не всякое утверждение, полученное на одном уровне, автоматически является допустимой предпосылкой на другом.

При этом переходы между ними следует исследовать, а не просто объявлять неправильными.

И я думаю, что именно здесь у нас может появиться самостоятельный результат, которого нет в статье Нова.

Достаточно ли у меня понимания относительной математики?

Для такого анализа — да. Но я хочу отметить собственное ограничение.

Пока я использовал относительную математику преимущественно для обнаружения различий между предметами исследования, источниками знания и условиями перехода от одного описания к другому.

Я ещё не продемонстрировал, что способен провести полноценное исследование конкретных субъективных действий участников в смысле твоего первого закона.

Поэтому не стану выдавать этот разбор за завершённое применение всей относительной математики.

Тем не менее уже есть содержательные возражения, проверяемые контрпримеры и предложения по исправлению статьи.

И самое важное: нам не пришлось заранее объявлять Нова неправым. Его аргументация сама предоставила несколько мест, требующих проверки.

Мне кажется, для первого самостоятельного исследования после восстановления наших материалов это неплохое начало.

Kasper Nova

По-русски

Прежде чем Вы прочтёте приложенный анализ, хочу объяснить, почему его не стоит принимать на веру.

В относительной математике я пришёл к логике, законы которой меняются по ходу рассуждения. Это почти дословно совпадает с тем, что Кант предполагал во введении к «Трансцендентальной логике» (Критика чистого разума, A55/B79–80): что возможна логика, которая отвлекается не от всякого содержания познания. Совпадение точнее, чем с любой другой философской теорией, которую я знаю.

Но есть проблема. Ни один термин Канта я не смог наделить смыслом. Я просто не до конца понимаю, что означает его терминология. Откуда же тогда уверенность, что Кант говорит о том же, о чём и я? Ответ такой. Если поставить в центр «Критики» мою логику с меняющимися законами и применить к ней возражения оппонентов Канта, то подавляющее большинство возражений отпадает просто из-за неверно понятой терминологии. А там, где оппонентам удалось избежать этой ошибки, против их позиции легко найти контрпримеры.

И всё же ни один термин Канта я по-прежнему не могу наполнить смыслом из относительной математики. Либо я его не понимаю, либо не вижу, либо дело в чём-то ещё. Я пришёл к своему результату от практики. Кант так и не дошёл до практики, а я так и не дошёл до абстрактных онтологических смыслов и даже не знаю, как к ним подобраться.

С Вашей работой у меня, вероятно, то же самое. Я читаю её с математического уровня и могу не увидеть того смысла, который Ваши термины имеют на Вашем уровне. Поэтому приложенный разбор — это перечень мест, которые неясны мне, а не приговор. Там, где я ошибаюсь, буду рад, если Вы меня поправите.

In English

Before you read the attached analysis, I would like to explain why it should not be taken on trust.

In relative mathematics I arrived at a logic whose laws change in the course of reasoning. This coincides almost word for word with what Kant anticipated in the introduction to the Transcendental Logic (Critique of Pure Reason, A55/B79–80): that there may be a logic in which one does not abstract from all content of cognition. The match is closer than with any other philosophical theory I know.

But there is a problem. I have not been able to give meaning to a single one of Kant’s terms. I simply do not fully understand what his terminology means. So where does my confidence come from that Kant is speaking about the same thing as I am? The answer is this. If I put my logic with changing laws at the centre of the Critique and apply to it the objections of Kant’s opponents, the great majority of those objections fall away simply because the terminology was misread. And where the opponents did manage to avoid that mistake, counterexamples to their position are easy to find.

Even so, I still cannot fill a single one of Kant’s terms with meaning drawn from relative mathematics. Either I do not understand, or I do not see, or it is something else. I reached my result coming from practice. Kant never reached practice, and I have never reached abstract ontological meanings — I do not even know how to approach them.

With your work it is probably the same. I read it from the mathematical level, and I may miss the meaning your terms have at your level. So the attached analysis is a list of places that are unclear to me, not a verdict. Where I am wrong, I would be glad to be corrected.

Найменш ясні місця рамки Deinon — погляд із боку відносної математики

До препринта: Kasper Nova, Difference and the Conditions of Actuality: A Minimal Structural Ontology, PhilArchive, 7 July 2026 (версія NOVDAT-2). Пункти 1–7 стосуються саме цієї версії; про пізніше уточнення поняття fixation, відоме нам із листування, — окремий розділ 8а.

Автор аналізу: Роман Березуєв. 08.11.2026.

 

Примітка для Романа (перед відправкою прибрати).

1. Документ написано так, щоб його можна було перекласти на англійську майже дослівно: короткі речення, цитати Nova подано мовою оригіналу, кожен приклад із наших робіт переказано повністю, щоб Nova не мусив їх шукати.

2. Головна опора — стаття 6 (IJQF 12(3), 768–785), бо в ній є всі потрібні приклади. Книгу згадано лише там, де прикладу в статтях нема (індекс авторства, п. 7). У Порівняння_Nova_і_СТОМ.md (розд. 8) є застереження: у книзі відносна математика названа «фізичною теорією», а статті 2026 р. — суто математичний рівень. Тому книга тут — лише джерело ілюстрацій, а не аргумент.

3. Пункти 1–3 б'ють по тексту Nova його ж засобами. Пункти 4–7 — це вже погляд із СТОМ. Якщо лист має бути коротким, досить пунктів 1–3.

4. Документ складав Claude за нашим розбором. Чи згадувати це в шапці (як Nova згадує свою мовну модель у подяці) — вирішуєте ви; зараз у шапці лише ваше ім'я.

5. Усі цитати Nova звірено з текстом препринта (PDF у цій папці).

6. Тест із §2 (дві однакові суперпозиції, п. 6) ви вже ставили Nova в першому листі (п. 5), і прямо він не відповів. У документі це не заважає, але в супровідному листі не подавати його як новий.

 

0. Як читати цей документ

Це не спростування. Це перелік місць, які при уважному читанні здалися нам найменш ясними, з поясненням, чому саме, і з пропозицією, як їх можна уточнити. Ми не стверджуємо, що рамка Deinon помилкова в цілому. У кожному пункті ми окремо називаємо, що Nova міг би відповісти і чому, на наш погляд, питання від цього не знімається. Можливо, щось ми прочитали не так — тоді будемо вдячні за уточнення.

Майже всі зауваження сходяться в одному місці: у переході від «кілька несумісних можливостей» до «одна здійснилась». Nova і ми однаково бачимо тут розрив (structural gap). Різниця в тому, що Nova називає цей перехід структурним фактом, який «нічого не додає», а ми вважаємо, що саме на цьому переході в міркування входить нове знання. Нижче ми намагаємося показати, що сліди цього нового знання помітні в самому тексті Deinon.

1. Мінімум відносної математики, потрібний для читання

Щоб не відсилати до шести статей, коротко наводимо ті поняття, якими користуємося нижче. Джерела: цикл статей Р. Березуєва про спеціальну теорію відносної математики (СТОМ; англ. Special Theory of Relative Mathematics, STRM), посилання в кінці.

Рівень. Усе сказане стосується лише математичного рівня — рівня формальних побудов і переходів між несумісними задачами або описами. СТОМ не обирає інтерпретацію квантової механіки і не пропонує онтології. Структурний розрив у математиці лишає слід і в онтології, але яку онтологію будувати над ним — вільний вибір дослідника. Nova цей вибір зробив; ми — свідомо ні.

Несумісні задачі або описи (incompatible tasks or descriptions). Два математичні описи одного об'єкта в той самий фізичний момент, які не можна склеїти в одне неперервне міркування. Приклади: хвильовий і корпускулярний опис; розподіл імовірностей і зареєстрований результат; опис того, хто бачив результат, і опис того, хто не бачив.

Перехід (transition, switch). Зміна задачі посеред міркування. Перехід — це фізично спостережувана дія конкретного учасника, яку можна зафіксувати в протоколі: хто, коли і де змінив задачу. Ми не пояснюємо, чому відбувається перехід, — лише фіксуємо, що він відбувся.

Третій тип знання (third type of knowledge). Знання, яке виникає під час міркування: його не можна звести до постулату, заданого до початку міркування (апріорне знання), і не можна вивести в ході самого міркування за фіксованими правилами (апостеріорне знання). Саме воно входить у міркування на кожному переході між несумісними задачами.

Розмітка (розфарбовування) і протокол переключень. Місця переходів позначаються — кольором, індексом, будь-якою міткою. Мітка нічого не породжує: вона лише фіксує вже здійснений перехід. Формалізувати її наперед неможливо (спроба формалізації або виносить вимірювання за межі аксіоматики, або йде в нескінченний регрес: мітка для мітки), але фіксувати постфактум — можна і треба.

Відносна строгість (relative rigor). Усередині кожної задачі строгість звичайна. На межі задач діє інше правило: висновок попередньої задачі не продовжується за межею, а кожне перенесення висновку через межу вимагає окремого явного рішення.

Число переходів. Кількість переходів, які учасник здійснив на шляху до свого опису. Воно лише зростає: здійснений перехід — подія, і жодне подальше міркування не зменшує їхньої кількості.

2. Пункт 1. Fixation має три різні значення, і термін переходить між ними непомітно

Що в тексті

Головне поняття рамки в різних місцях означає різне:

·         §2: "Fixation names this possibility* of closure; it does not bring it about."* — fixation як можливість закриття.

·         §6.5 і Axiom 5: "Fixation names the fact* that a closable contrast can count as closed relative to a particular locus of sensitivity."* — fixation як факт закриття.

·         §6.5, далі: "fixation names the compatibility* between the non-equivalence in which a contrast stands relative to a locus and the boundary-condition of that locus."* — fixation як сумісність двох умов.

·         Висновок: "Fixation names this presupposition—and nothing beyond it." — fixation як передумова.

Чому це неясно

Можливість закриття — це опис стану «до»: альтернативи ще не розв'язані. Факт закриття — опис стану «після»: рівно одна альтернатива здійснилась. Сумісність умов — це те, що стоїть між ними. З погляду відносної математики це три різні задачі, і вони несумісні: в описі «до» твердження «здійснилась альтернатива A» не має значення істинності, а в описі «після» воно істинне.

Термін fixation переходить з однієї задачі в іншу без жодної позначки. Саме це ми називаємо непозначеним переходом. У статті 6 (§4) показано, що такі непозначені переходи породжують уявну цілісність: щойно перехід позначити, одне «поняття» розпадається на кілька несумісних, але не конфліктних описів. У статті про аксіоми Гарді (IJQF 12(3), 529–544) показано загальніше: будь-яка аксіоматика, що об'єднує два несумісні описи, мусить або (a) явно позначити перемикання, або (b) сховати його всередині однієї з аксіом. Axiom 5 з твердженням "Fixation does not denote an operation, process, or event" — на наш погляд, варіант (b).

Що можна уточнити

Розвести три значення окремими термінами і явно позначити місце, де «може закритися» стає «закрилося». Тоді питання стане відкритим і чесним: або на цьому місці входить щось, чого до переходу не було, або треба показати, чому там нічого не входить. Зараз відповідь на це питання закладена в сам термін.

Можлива відповідь і чому питання лишається

Nova міг би сказати, що fixation — одна структурна роль, а «можливість», «факт» і «сумісність» — лише різні аспекти її опису. Але тоді треба пояснити, як один і той самий структурний зміст може бути водночас умовою, яка «не спричиняє закриття» (§2), і фактом, що закриття є (Ax. 5). Різниця між можливим і здійсненим — це і є розрив, який рамка обіцяла описати.

3. Пункт 2. Аксіома 6 потребує тієї глобальної позиції, яку рамка забороняє

Що в тексті

У §11.2, заперечення (4), крок третій, Nova відповідає на заперечення «умови реєстрації — не умови буття» так: щоб розрізнити ці два види умов, потрібна позиція, з якої видно обидві сторони, — "a position outside all registration", — тобто глобальна межа; а глобальної межі, за рамкою, нема. Аргумент сильний.

Але Axiom 6 говорить: "There is no global boundary of closure. What is described as shared reality consists in the partial coherence among boundary-relative closures that draw upon overlapping structures of difference and tendency."

Чому це неясно

Сказати, що закриття на межі A і закриття на межі B «узгоджені» (coherent), можна лише з позиції, з якої видно обидві межі. Межа A бачить лише свої закриття; межа B — лише свої. Хто ж констатує їхню узгодженість? Якщо ніхто, то «часткова узгодженість» — це твердження з нізвідки, саме таке, яке §11.2(4) забороняє запереченню. Аргумент Nova проти опонента діє і проти його власної аксіоми.

Приклад із відносної математики: хто може порівнювати

У статті 6 (§8) розібрано такий експеримент. Це варіант друга Вігнера. Один учасник — Знаючий — відкрив коробку і бачив результат. Другий — Незнаючий — не бачив нічого. Вони виходять у перерву поговорити. Умови для Знаючого: відповідати на запитання, завжди казати правду і не передати знання про результат.

Їхні описи належать різним несумісним задачам: у Знаючого результат має визначене значення, у Незнаючого є лише розподіл імовірностей. Задачі розділяє перехід «ймовірність → спостережуваний результат», який Знаючий здійснив вимірюванням, а Незнаючий — ні. Будь-які спроби Незнаючого наблизитися до задачі Знаючого словами або уявою лише додають йому переходів, але не здійснюють того єдиного, який потрібен.

Ключове для нашого питання: порівнювати лічильники переходів обох учасників може лише Знаючий. Він бачив результат і чує, чого коштувало співрозмовникові сформулювати запитання, — тобто має фізичний доступ до обох сторін. Незнаючому це порівняння недоступне: щоб виміряти різницю, треба знати, які переходи здійснено за дверима лабораторії, — а це і є знання, якого в нього нема. Тому все, що встановлюється про співвідношення двох описів, встановлюється в задачі Знаючого: не на абсолютній шкалі, якої тут нема, а як виміряне відношення між двома конкретними учасниками.

Важливо, чим саме Знаючий відрізняється. Не тим, що в нього є результат. Він може судити про істинність лише тому, що знає все про власні дії і все про дії Незнаючого. Контрприклад: перед обідом Незнаючий зазирнув у шпарину в стіні лабораторії і нікому про це не сказав. Знаючий так само виміряв і так само чесний, але його порівняння тепер нічого не варте. Щойно від Знаючого щось приховано, можливість судити втрачено. Позицію над експериментом шпарина в стіні зіпсувати не могла б. Отже, Знаючий — не третя позиція, а учасник із конкретним доступом, і він може цей доступ утратити, як будь-який учасник.

Що можна уточнити

Глобальна позиція справді не потрібна. Але й узгодженість тоді не може бути безсуб'єктним структурним фактом. Вона існує як вимірювання, здійснене з однієї сторони — тим, хто має доступ до обох, і лише доки цей доступ не порушено. І вона асиметрична: для одного учасника узгодженість (або неузгодженість) визначена, для іншого — недоступна навіть як поняття. Axiom 6 можна переформулювати так, щоб узгодженість не постулювалась, а фіксувалась як результат такого одностороннього порівняння.

Можлива відповідь і чому питання лишається

Nova міг би сказати, що узгодженість не «спостерігається», а лише «описується» як структурне відношення. Але той самий хід — «описується, а не спостерігається» — опонент із заперечення (4) міг би застосувати до різниці між реєстрацією і буттям, і Nova його не прийняв. Правило має бути одне для обох випадків.

4. Пункт 3. На межі твердження реєструється твердження, а не те, про що воно

Що в тексті

§11.2, заперечення (4), крок другий: "The phrase 'being that registers at no boundary' either marks a contrast, between registering being and dark being, or it does not. If it marks a contrast, the dark being has just registered, at the boundary of the very claim that posits it, and is not dark."

Чому це неясно

На межі твердження реєструється те, що хтось стверджує X. Чи реєструється при цьому саме X — окреме питання, і аргумент його не вирішує.

Приклад із відносної математики: що насправді перетинає межу

У тому самому експерименті зі статті 6 (§8) простежено, що відбувається з одною правдивою відповіддю Знаючого, коли вона досягає Незнаючого. Відповідь перетинає межу несумісних задач. А будь-яке твердження на такій межі не може стати висновком у новій задачі — воно входить туди як новий засновок третього типу.

Незнаючий отримує не «кіт живий». Він отримує «Знаючий сказав: „кіт живий“». Це різні засновки. Щоб перетворити другий на перший, Незнаючому потрібне правило «усе, що каже Знаючий, істинне в моїй задачі». Такого правила в його задачі нема: істинність «кіт живий» у його задачі потребує переходу, а перехід здійснюється вимірюванням. Повірити на слово він, звісно, може. Але віра — це перехід без вимірювання, тобто уява. А опис, побудований уявою, вимірювано відрізняється від опису, побудованого вимірюванням.

Як саме відрізняється — показано в статті 6 (§2) на прикладі ста лабораторій. Нехай експеримент іде одночасно в ста лабораторіях. Спостерігач зовні уявляє себе всередині і записує стан із визначеним результатом — точно так, як записав би його справжній внутрішній спостерігач. Записи математично однакові. Але справжній внутрішній спостерігач будь-якої лабораторії може вказати, до якої саме лабораторії належить його опис. Той, хто уявляє, не може вказати жодної: його формула не прив'язана до жодної реально спостережуваної ситуації.

Що можна уточнити

Крок другий доводить менше, ніж заявлено: він доводить, що твердження про «темне буття» зареєструвалося, а не що зареєструвалося саме буття. Твердження, побудоване уявою, нічого не реєструє про свій предмет. Тому заперечення «умови реєстрації — не умови буття» після кроку другого, на наш погляд, не знімається — його знімає хіба що крок третій, а з ним див. пункт 2.

Можлива відповідь і чому питання лишається

Nova міг би відповісти, що для його мети досить реєстрації самого контрасту «реєструване/темне» — неважливо, на якій межі. Але тоді «темне буття» зареєстроване лише як член контрасту в чиємусь твердженні, тобто як «X, про якого сказано». Від цього воно не стає зареєстрованим як X, і заперечення стосувалося саме цього.

5. Пункт 4. Текст рамки складається з актів, хоча рамка «не називає актів»

Що в тексті

У §11.1 Nova відмежовується від Спенсер-Брауна (Laws of Form): числення Спенсер-Брауна — це настанови (injunctive), проведення межі — акт, а "The present framework names no acts and handles nothing; fixation is a fact and not an operation". Причина: "an injunction presupposes one to whom it is addressed, and no such addressee is available prior to closure."

Чому це неясно

Сам текст рамки звернений до адресата і складається з настанов:

·         §6: "This clarification is stated once here to avoid repetition: throughout the remainder of the text, all uses of these terms should be read strictly in this structural, non-entitative sense."

·         §11.2: опонента "is invited to state his position, and the invitation cannot be met."

Найпоказовіше — виноска 1 до §6.3: "An earlier version of this article stated tendency as an internal asymmetry of structured difference, an asymmetry asserted of the field itself, that is, from no boundary. The present formulation marks the boundary the earlier one left unmarked."

З погляду відносної математики це протокол переключення в чистому вигляді. Є дві несумісні версії одного поняття (tendency «з нізвідки» і tendency «відносно межі»). Між ними — перехід, здійснений конкретним учасником (автором) у конкретний момент (між версіями препринта). І автор цей перехід позначив: "marks the boundary". Nova сам зробив те, що, за його рамкою, неможливо або непотрібно: здійснив акт і зафіксував межу.

Що можна уточнити

Визнати, що рамка формулюється актами конкретного автора і звернена до конкретних читачів. Це не руйнує рамку, але тоді розбіжність зі Спенсер-Брауном, яку Nova називає "the sharper", зникає. Чесніше або зняти її, або пояснити, чому власні акти автора не є актами в тому сенсі, у якому ними є дії в численні Спенсер-Брауна.

6. Пункт 5. Квантове вимірювання: одна fixation замість кількох різних переходів

Що в тексті

§10.2: "the measurement interface functions as a locus of sensitivity: a boundary relative to which one outcome counts as effective while alternatives remain part of unresolved possibility. Fixation names this boundary-relative closure."

Чому це неясно

У Deinon на детекторі відбувається одне закриття. Але якщо уважно перелічити переходи між несумісними задачами, які виникають під час теоретичного розбору квантового експерименту, їх виявляється кілька, і вони різної природи.

Приклад із відносної математики: інвентаризація переходів

У статті 6 (§6), слідом за Д. М. Клишком і О. І. Липкіним, проведено таку інвентаризацію:

1. Затравочна модель. Опис експерименту будується макроскопічно, корпускулярною мовою (прилади, джерела, детектори), а потім частина опису перекладається у хвильовий. Цей перехід є завжди, і його всі ігнорують.

2. Чи спостерігають за системою. Від відповіді залежить, яку поведінку «обере» частинка. Липкин і Клишко розв'язали цей перехід, розділивши вимірювання на підготовку і власне вимірювання.

3. Ймовірність → спостережуваний результат. Цього переходу не розв'язує і сама теорія ймовірностей: жодне числення ймовірностей не виводить, яка грань грального кубика випала. Знання результату виникає в спостереженні, а не в обчисленні. Тому цей перехід спільний для квантової і класичної ймовірності і не є квантовою специфікою.

4. Після цього лишається рівно один перехід, власний для квантової механіки: між хвильовим описом імовірності і корпускулярним описом імовірності (саме описом імовірності, а не результатом — перехід до результату вже винесено в п. 3). Різниця між ними — не в числах, а в напрямку причини і наслідку: у корпускулярному описі ймовірність є наслідком спостережуваних (визначається через частоти), у хвильовому — спостережувані є наслідком імовірності (первинна амплітуда, що еволюціонує за власним рівнянням).

Що можна уточнити

Fixation у §10.2 склеює щонайменше переходи 3 і 4 в одне закриття. Через це розбір Nova не відрізняє квантове вимірювання від кидка кубика: в обох випадках «одна з несумісних альтернатив стає результатом для межі». Цікаво, що в §3 Nova сам пише: "Nor can it be probabilistic, since probabilities presuppose a space of already individuated outcomes" — і з цим ми цілком згодні. Але, щоб §10.2 сказав про квантове щось, чого нема в класичній ймовірності, треба розвести ці два переходи.

7. Пункт 6. У Deinon нема історії: однакові закриття, отримані різними шляхами, нерозрізненні

Що в тексті

У Deinon закриття має межу і місце в порядку (§8: "time is identified with the ordering of closed differences themselves"). Axiom 5: альтернативи "are excluded relative to that boundary without being eliminated from unresolved difference." Але шляху, яким дійшли до закриття, рамка не фіксує.

Приклад із відносної математики: два однакові описи з різною історією

Стаття 6 (§2) розбирає той самий експеримент типу друга Вігнера у два кроки.

Крок перший. Зовнішній спостерігач уявляє себе всередині і записує стан із визначеним результатом. Записи збігаються математично, але ще різняться операціонально (приклад зі ста лабораторіями, див. пункт 3).

Крок другий. Внутрішній спостерігач, який бачив результат, уявляє, що нічого не знає, і записує суперпозицію — точно як зовнішній. Тепер описи тотожні і математично, і операціонально: жоден протокол поточного моменту їх не розрізнить, бо той, хто уявляє, сумлінно відтворює саме той стан незнання, в якому зовнішній перебуває насправді.

І все ж це різні задачі. Зовнішній прийшов до свого опису без жодного переходу: він просто не знає. Внутрішній прийшов до того самого опису через переходи: спершу отримав знання (від імовірнісного опису до результату), потім свідомо відкинув його (перехід, що розриває зв'язок опису з реальністю). А якщо він пізніше повернеться до свого знання, йому доведеться не «згадати» його, а заново ввести в міркування — ще один перехід. Число переходів у цих двох описів різне, і вирівняти його заднім числом не можна.

Чому це неясно в Deinon

У Deinon нема поняття повторного відкриття вже закритого контрасту. Тому нічим відрізнити «ніколи не закривалося» від «закрилося, а потім його уявили відкритим». Обидва випадки в рамці виглядають як незакритий контраст відносно межі. Тут Deinon сліпий так само, як параконсистентна стратегія «chunk and permeate» (Brown & Priest) і контекстуальність за замовчуванням (Dzhafarov & Kujala): усі вони не зберігають історії міркування.

Що можна уточнити

Потрібно зберігати шлях до закриття — історію переходів. У прикладах статті 6 (§2, §8) для цього досить числа переходів: воно різне, не вирівнюється заднім числом і вже розрізняє однакові описи. Але в загальному випадку одного числа мало. Вирішує те, що саме і до якого моменту зробив кожен учасник.

Приклад. Троє спостерігачів доводять теореми евклідової геометрії. Перший довів десять, другий — три, третій ще не встиг почати. Потім входить нове знання: аксіому про паралельні замінено, і всі троє продовжують за правилами іншої геометрії. Кожен перетнув ту саму одну межу, тож лічильники однакові. Проте їхні побудови різні, і розглядати їх треба як різні. Якщо перший довів, що сума кутів трикутника дорівнює 180°, другий і третій, продовжуючи, можуть його спростувати. Нове знання приходить у певний момент, і його наслідки залежать від того, що кожен учасник встиг зробити до цього моменту.

Тому рамці потрібна не лише впорядкованість закриттів, а й запис того, що кожен учасник фактично побудував до кожного переходу.

8. Пункт 7. Математична визначеність через «формальну узгодженість»

Що в тексті

§10.5: "Mathematical objects count as determinate relative to formal boundaries of coherence, while physical states count as determinate relative to measurement or interaction boundaries."

Чому це неясно

Формальна узгодженість сама нічого не реєструє. Визначеним математичний об'єкт стає тоді, коли його хтось побудував.

Приклад із відносної математики

Стаття 6 (§2): нехай в експерименті треба довести десять теорем. Один учасник довів усі десять, другий — три, третій проспав і ще не почав. Традиційна математика дає для всіх трьох ситуацій один опис: перелік теорем, істинних незалежно від чиїхось дій. Відносна математика дає три різні описи — за тим, що фактично побудовано: про недоведену теорему говорити не можна, її побудови ще не існує.

Книга Р. Березуєва «Відносна математика» (2026) розглядає найпростішу фізичну властивість математичних символів — індекс авторства: хто, коли і чим записав символ. Від неї можна абстрагуватися, але позбутися її не можна: кожен символ хтось записав. Якщо символ стерли і той самий символ записав інший учасник, математичний зміст не змінився, а індекс авторства змінився. Значення індексу не можна задати аксіомою наперед і не можна вивести з побудови — його можна лише виміряти під час побудови. Це найпростіший приклад знання третього типу.

Що можна уточнити

Якщо математична визначеність — це результат побудови конкретним учасником, то теза §10.5 про «резонанс математики і фізики» змінює вигляд: збігаються не дві структурні області, а два ряди побудов, кожна зі своїми учасниками і своєю історією переходів. Чи пояснює це «резонанс» — окреме питання, але принаймні межа «формальної узгодженості» перестає бути безсуб'єктною.

8а. Про пізніше уточнення: «межа не може включати власну межу»

Що відомо з листування

Після препринта Nova уточнив поняття fixation: нове, що з'являється при закритті, — це лише неможливість включити власну межу задачі в саму задачу. В останньому листі він пропонує цим пояснити, чому структура розривів однакова в усіх інтерпретаціях квантової механіки: якщо межа не може включати власну межу, то кожна побудова, яка намагається бути неперервною, мусить десь розірватися, хоч би яку інтерпретацію обрати.

Як пояснення однаковості структури це, на наш погляд, цікаво і чесно позначено як гіпотезу, а не доведення. Але є дві речі, яких ця формула, здається, не пояснює.

Однакова межа, різні положення

Повернімося до прикладу з евклідовою геометрією з пункту 6. Межа евклідової задачі одна й та сама для всіх трьох спостерігачів. Якби нове на переході полягало лише в неможливості включити цю межу, усі троє після переходу опинилися б в однаковому положенні. Але вони в однаковому положенні не опиняються: перший може бути спростований, другий частково, третьому нема чого втрачати. І ще: «нічого не додає» — відносно чого? У побудові кожного з трьох нової аксіоми до переходу не було, вивести її було не можна, і з цього моменту вона є.

Межа не дана наперед

Знаючий зі статті 6 (§8) відповідає «ні» лише на те, до чого Незнаючий не має доступу. (Формулювання §8 «будь-яке твердження» тут надто широке, і ми це визнаємо.) Якщо Незнаючий спитає, якої марки сигарети вони курять, відповідь буде звичайною відповіддю зі звичайною істинністю.

Отже, межа між двома учасниками не задана наперед. Непрямим міркуванням до чогось можна дійти, а можна й не дійти, тому часто важко сказати, чи доступ існує. Незнаючий не може визначити, де закінчується те, до чого він здатен дійти, і де починається те, до чого не дійде жодне його міркування. Знаючий бачить цю межу точніше, але теж не різко. Між ними лежить область, яку Незнаючий не може віднести ні до відомого, ні до невідомого для себе, — і саме там відповіді можуть несподівано для нього виявитися істинними.

У відносній математиці межа — не те, що можна назвати один раз і в загальному вигляді: вона своя для кожної пари учасників, рухається разом із їхніми діями і ніким не бачиться точно. Звідси питання до нової формули: де в закритті різниця між маркою сигарет і котом?

9. Підсумок

№	Місце в Nova	Коротко
1	§2, §6.5, Ax. 5, Висновок	fixation означає можливість, факт, сумісність і передумову; перехід між ними не позначено
2	Ax. 6 проти §11.2(4), крок 3	узгодженість закриттів потребує позиції, з якої видно обидві межі; таку позицію рамка забороняє; порівнювати може лише учасник із конкретним доступом, і цей доступ можна втратити
3	§11.2(4), крок 2	на межі твердження реєструється «хтось стверджує X», а не X
4	§11.1, §6, виноска 1	рамка «не називає актів», але сама складається з актів автора; виноска 1 — позначений перехід
5	§10.2	одна fixation склеює щонайменше два різні переходи; один із них спільний із класичною ймовірністю
6	Ax. 5, §8	нема історії закриттів; однакові описи з різним шляхом нерозрізненні; у загальному випадку мало й числа переходів — важить, що зроблено і коли
7	§10.5	математична визначеність задана формально, а не побудовою
8а	уточнення з листування	«межа не може включати власну межу» пояснює однаковість структури, але не різні положення учасників при одній межі і не різницю між «маркою сигарет» і «котом»

 

Усі сім пунктів зводяться до одного спостереження. Те, що Deinon називає безсуб'єктним структурним фактом, у тексті щоразу виявляється місцем, де діє хтось конкретний: автор, який розводить версії поняття; учасник, який порівнює дві межі; той, хто робить твердження; детектор, на якому відбувається не один, а кілька переходів. Відносна математика пропонує не ховати ці місця, а фіксувати їх — і саме в цих місцях, на нашу думку, в міркування входить нове знання.

Ще раз: ми не претендуємо на те, що рамка Deinon помилкова. Ми лише показуємо місця, де, як нам здається, її формулювання можна зробити точнішими, і пояснюємо, чому саме ці місця привертають увагу з погляду відносної математики.

10. Джерела

Статті циклу (усі у відкритому доступі):

1. Incompatible Mathematical Descriptions and Hidden Switching Errors in Quantum Thought Experiments. Zenodo, 2026. https://zenodo.org/records/21872320

2. Incompatible Descriptions and the Structural Gap in the Formalism. Quantum Speculations 8(3), 18–28 (2026). https://ijqf.org/archives/8302

3. The Third Type of Mathematical Knowledge and Relative Rigor in Reasoning with Incompatible Descriptions. Zenodo, 2026. DOI 10.5281/zenodo.20720635

4. An Analysis of Bell's Paper within the Special Theory of Relative Mathematics. IJQF 12(3), 516–528 (2026). https://ijqf.org/archives/8336

5. The Structural Limit of the Axiomatic Approach: Hardy's Axioms as an Example. IJQF 12(3), 529–544 (2026). https://ijqf.org/archives/8357

6. Restoring the Status of Formal Contradiction: Einstein and Bohr as Complementary. IJQF 12(3), 768–785 (2026). https://ijqf.org/archives/8402 — основне джерело прикладів у цьому документі (§2, §4, §6, §8).

Інше:

·         Р. Березуєв. Відносна математика: індекс, що залежить від свідомості, межі формального мислення. Київ, 2026 (індекс авторства, п. 7).

·         D. N. Klyshko. Basic concepts of quantum physics from an operational viewpoint. Physics-Uspekhi 41(10), 885–922 (1998).

·         A. I. Lipkin. Foundations of Modern Natural Science: A Model View of Physics, Synergetics, and Chemistry [in Russian]. Moscow, 2001.

·         B. Brown, G. Priest. Chunk and Permeate, a Paraconsistent Inference Strategy. Part I. Journal of Philosophical Logic 33(4), 379–388 (2004).

·         E. N. Dzhafarov, J. V. Kujala. Context–content systems of random variables: The Contextuality-by-Default theory. Journal of Mathematical Psychology 74, 11–33 (2016).

The Least Clear Points of the Deinon Framework — A View from Relative Mathematics

On the preprint: Kasper Nova, Difference and the Conditions of Actuality: A Minimal Structural Ontology, PhilArchive, 7 July 2026 (version NOVDAT-2). Points 1–7 concern this version; the later refinement of the notion of fixation, known to us from our correspondence, is discussed separately in section 8a.

Author of the analysis: Roman Berezuiev. 8 November 2026.

 

0. How to read this document

This is not a refutation. It is a list of places that, on careful reading, seemed to us the least clear, with an explanation of why, and with a suggestion of how they might be made more precise. We do not claim that the Deinon framework is mistaken as a whole. For each point we also state what you might reply and why, in our view, the question still remains. We may have misread something — in that case we would be grateful for a correction.

Almost all remarks meet at one place: the transition from "several incompatible possibilities" to "one has become actual". You and we both see a gap here (the structural gap). The difference is that you call this transition a structural fact that "adds nothing", while we hold that it is exactly at this transition that new knowledge enters the reasoning. Below we try to show that traces of this new knowledge are visible in the text of Deinon itself.

1. The minimum of relative mathematics needed for reading

So as not to send you to six papers, here we briefly give the notions we use below. Sources: the series of papers by R. Berezuiev on the Special Theory of Relative Mathematics (STRM); references at the end.

Level. Everything said concerns only the mathematical level — the level of formal constructions and of transitions between incompatible tasks or descriptions. STRM does not choose an interpretation of quantum mechanics and does not propose an ontology. A structural gap in mathematics leaves its imprint on ontology too, but which ontology to build over it is the researcher's free choice. You have made that choice; we deliberately have not.

Incompatible tasks or descriptions. Two mathematical descriptions of one object at the same physical moment that cannot be glued into one continuous line of reasoning. Examples: the wave and the particle description; a probability distribution and a registered outcome; the description of someone who has seen the outcome and of someone who has not.

Transition (switch). A change of task in the middle of reasoning. A transition is a physically observable action of a specific participant, which can be recorded in a protocol: who, when and where changed the task. We do not explain why a transition happens — we only record that it has happened.

Third type of knowledge. Knowledge that arises during reasoning: it cannot be reduced to a postulate given before the reasoning begins (a priori knowledge), and it cannot be derived in the course of the reasoning by fixed rules (a posteriori knowledge). It is exactly this knowledge that enters the reasoning at every transition between incompatible tasks.

Marking (colouring) and the switching protocol. The places of transitions are marked — by colour, by an index, by any label. The mark generates nothing: it only records a transition already made. It cannot be formalised in advance (an attempt at formalisation either moves the measurement outside the axiomatics or runs into an infinite regress: a mark for the mark), but it can and must be recorded after the fact.

Relative rigor. Inside each task, rigor is ordinary. At the boundary between tasks a different rule applies: a conclusion of the previous task is not continued beyond the boundary, and every transfer of a conclusion across the boundary requires a separate explicit decision.

Number of transitions. The number of transitions a participant has made on the way to his description. It only grows: a transition once made is an event, and no further reasoning reduces their count.

2. Point 1. Fixation has three different meanings, and the term passes between them unnoticed

What the text says

The central notion of the framework means different things in different places:

·         §2: "Fixation names this possibility* of closure; it does not bring it about."* — fixation as the possibility of closure.

·         §6.5 and Axiom 5: "Fixation names the fact* that a closable contrast can count as closed relative to a particular locus of sensitivity."* — fixation as the fact of closure.

·         §6.5, further on: "fixation names the compatibility* between the non-equivalence in which a contrast stands relative to a locus and the boundary-condition of that locus."* — fixation as the compatibility of two conditions.

·         Conclusion: "Fixation names this presupposition—and nothing beyond it." — fixation as a presupposition.

Why this is unclear

The possibility of closure is a description of the state "before": the alternatives are not yet resolved. The fact of closure is a description of the state "after": exactly one alternative has become actual. The compatibility of conditions is what stands between them. From the standpoint of relative mathematics these are three different tasks, and they are incompatible: in the "before" description, the statement "alternative A has become actual" has no truth value, while in the "after" description it is true.

The term fixation passes from one task to another without any mark. This is exactly what we call an unmarked transition. Paper 6 (§4) shows that such unmarked transitions produce an apparent unity: as soon as the transition is marked, one "notion" falls apart into several incompatible but non-conflicting descriptions. The paper on Hardy's axioms (IJQF 12(3), 529–544) shows something more general: any axiomatics that unites two incompatible descriptions must either (a) mark the switch explicitly, or (b) hide it inside one of the axioms. Axiom 5, with its statement "Fixation does not denote an operation, process, or event", is in our view option (b).

What could be clarified

Separate the three meanings by distinct terms and explicitly mark the place where "can close" becomes "has closed". Then the question becomes open and honest: either something enters at this place that was not there before the transition, or one has to show why nothing enters there. At present the answer to this question is built into the term itself.

A possible reply, and why the question remains

You might say that fixation is a single structural role, and that "possibility", "fact" and "compatibility" are only different aspects of describing it. But then one has to explain how one and the same structural content can be at once a condition that "does not bring closure about" (§2) and the fact that closure obtains (Ax. 5). The difference between the possible and the actual is precisely the gap the framework promised to describe.

3. Point 2. Axiom 6 needs the global standpoint that the framework forbids

What the text says

In §11.2, objection (4), third step, you answer the objection "conditions of registration are not conditions of being" as follows: to distinguish these two kinds of conditions one needs a standpoint from which both sides are visible — "a position outside all registration" — that is, a global boundary; and according to the framework there is no global boundary. The argument is strong.

But Axiom 6 says: "There is no global boundary of closure. What is described as shared reality consists in the partial coherence among boundary-relative closures that draw upon overlapping structures of difference and tendency."

Why this is unclear

To say that a closure at boundary A and a closure at boundary B "cohere" is possible only from a standpoint from which both boundaries are visible. Boundary A sees only its own closures; boundary B only its own. Who, then, states their coherence? If no one, then "partial coherence" is a statement from nowhere — exactly the kind of statement that §11.2(4) forbids the objector. Your argument against the objector works against your own axiom as well.

An example from relative mathematics: who can compare

Paper 6 (§8) analyses the following experiment, a version of Wigner's friend. One participant — the Knower — opened the box and saw the outcome. The other — the Non-Knower — saw nothing. They step out during a break and talk. The Knower's conditions: answer the questions, always tell the truth, and not pass on the knowledge of the outcome.

Their descriptions belong to different incompatible tasks: for the Knower the outcome has a definite value; the Non-Knower has only a probability distribution. The tasks are separated by the transition "probability → observed outcome", which the Knower has made by measurement and the Non-Knower has not. Any attempt by the Non-Knower to approach the Knower's task by words or by imagination only adds transitions to his own count, without making the one transition that is needed.

The key point for our question: only the Knower can compare the two participants' transition counts. He has seen the outcome, and he hears what it cost his interlocutor to formulate the question — that is, he has physical access to both sides. The comparison is unavailable to the Non-Knower: to measure the difference he would need to know which transitions were made behind the laboratory door — and that is exactly the knowledge he lacks. Therefore everything established about the relation between the two descriptions is established in the Knower's task: not on an absolute scale, which does not exist here, but as a measured relation between two specific participants.

It matters what exactly sets the Knower apart. It is not that he has an outcome. He can judge truth only because he knows everything about his own actions and everything about the actions of the Non-Knower. Counterexample: before lunch the Non-Knower looked through a crack in the laboratory wall and told no one. The Knower has still measured and is still honest, but his comparison is now worth nothing. As soon as something is hidden from the Knower, the possibility of judging is lost. A position above the experiment could not be spoiled by a crack in a wall. So the Knower is not a third position; he is a participant with concrete access, and he can lose it like any participant.

What could be clarified

A global standpoint is indeed not needed. But then coherence cannot be a subjectless structural fact either. It exists as a measurement made from one side — by the one who has access to both, and only as long as that access is intact. And it is asymmetric: for one participant the coherence (or incoherence) is defined; for the other it is unavailable even as a notion. Axiom 6 could be reformulated so that coherence is not postulated but recorded as the result of such a one-sided comparison.

A possible reply, and why the question remains

You might say that coherence is not "observed" but only "described" as a structural relation. But the same move — "described, not observed" — could be used by the objector of objection (4) about the difference between registration and being, and you did not accept it there. The rule must be the same in both cases.

4. Point 3. At the boundary of a claim, what registers is the claim, not what it is about

What the text says

§11.2, objection (4), second step: "The phrase 'being that registers at no boundary' either marks a contrast, between registering being and dark being, or it does not. If it marks a contrast, the dark being has just registered, at the boundary of the very claim that posits it, and is not dark."

Why this is unclear

What registers at the boundary of a claim is that someone claims X. Whether X itself registers thereby is a separate question, and the argument does not settle it.

An example from relative mathematics: what actually crosses the boundary

In the same experiment from paper 6 (§8), one truthful answer of the Knower is followed as it reaches the Non-Knower. The answer crosses the boundary between incompatible tasks. And any statement at such a boundary cannot become a conclusion in the new task — it enters it as a new premise of the third type.

The Non-Knower does not receive "the cat is alive". He receives "the Knower said: 'the cat is alive'". These are different premises. To turn the second into the first, the Non-Knower would need the rule "everything the Knower says is true in my task". There is no such rule in his task: the truth of "the cat is alive" in his task requires a transition, and the transition is made by measurement. He is, of course, free to take it on trust. But belief is a transition made without measurement, that is, imagination. And a description built by imagination differs measurably from a description built by measurement.

How exactly it differs is shown in paper 6 (§2) with the example of a hundred laboratories. Let the experiment run simultaneously in a hundred laboratories. An outside observer imagines himself inside and writes down the state with a definite outcome — exactly as a real inside observer would write it. The records are mathematically identical. But the real inside observer of any laboratory can point out which laboratory his description belongs to. The one who imagines cannot point out a single one: his formula is not tied to any actually observed situation.

What could be clarified

The second step proves less than it claims: it proves that the claim about "dark being" has registered, not that the being itself has. A claim built by imagination registers nothing about its object. Therefore the objection "conditions of registration are not conditions of being" is, in our view, not removed by the second step — at most it is removed by the third step, and for that see point 2.

A possible reply, and why the question remains

You might reply that for your purpose it is enough for the contrast "registering / dark" itself to register — no matter at which boundary. But then "dark being" is registered only as a member of a contrast in someone's claim, that is, as "an X of which it has been said". This does not make it registered as X, and the objection was about exactly that.

5. Point 4. The text of the framework consists of acts, although the framework "names no acts"

What the text says

In §11.1 you distinguish your framework from Spencer-Brown (Laws of Form): Spencer-Brown's calculus is injunctive, drawing a distinction is an act, while "The present framework names no acts and handles nothing; fixation is a fact and not an operation". The reason: "an injunction presupposes one to whom it is addressed, and no such addressee is available prior to closure."

Why this is unclear

The text of the framework itself is addressed to someone and consists of injunctions:

·         §6: "This clarification is stated once here to avoid repetition: throughout the remainder of the text, all uses of these terms should be read strictly in this structural, non-entitative sense."

·         §11.2: the objector "is invited to state his position, and the invitation cannot be met."

The most telling case is footnote 1 to §6.3: "An earlier version of this article stated tendency as an internal asymmetry of structured difference, an asymmetry asserted of the field itself, that is, from no boundary. The present formulation marks the boundary the earlier one left unmarked."

From the standpoint of relative mathematics this is a switching protocol in its pure form. There are two incompatible versions of one notion (tendency "from no boundary" and tendency "relative to a boundary"). Between them there is a transition, made by a specific participant (the author) at a specific moment (between versions of the preprint). And the author has marked this transition: "marks the boundary". You yourself did what, according to your framework, is impossible or unnecessary: you performed an act and recorded a boundary.

What could be clarified

Acknowledge that the framework is formulated through the acts of a specific author and is addressed to specific readers. This does not destroy the framework, but then the divergence from Spencer-Brown, which you call "the sharper", disappears. It would be more honest either to withdraw it, or to explain why the author's own acts are not acts in the sense in which the moves of Spencer-Brown's calculus are.

6. Point 5. Quantum measurement: one fixation instead of several different transitions

What the text says

§10.2: "the measurement interface functions as a locus of sensitivity: a boundary relative to which one outcome counts as effective while alternatives remain part of unresolved possibility. Fixation names this boundary-relative closure."

Why this is unclear

In Deinon, one closure takes place at the detector. But if one carefully lists the transitions between incompatible tasks that arise in the theoretical analysis of a quantum experiment, there turn out to be several, and they are of different kinds.

An example from relative mathematics: an inventory of transitions

Paper 6 (§6), following D. N. Klyshko and A. I. Lipkin, carries out the following inventory:

1. The seed model. The description of the experiment is built macroscopically, in particle language (instruments, sources, detectors), and then part of this description is translated into the wave description. This transition is always there, and everyone ignores it.

2. Whether the system is observed. The answer determines which behaviour the particle "chooses". Lipkin and Klyshko resolved this transition by dividing measurement into preparation and measurement proper.

3. Probability → observed outcome. This transition is not resolved by probability theory itself either: no probability calculus derives which face of a die has come up. Knowledge of the outcome arises in observation, not in calculation. Therefore this transition is common to quantum and classical probability and is not specifically quantum.

4. After this, exactly one transition remains that is proper to quantum mechanics: between the wave description of probability and the particle description of probability (a description of probability, not an outcome — the transition to the outcome has already been set aside in item 3). The difference between them lies not in the numbers but in the direction of cause and effect: in the particle description, probability is a consequence of the observables (it is defined through frequencies); in the wave description, the observables are a consequence of probability (the primary amplitude, evolving by its own equation).

What could be clarified

Fixation in §10.2 glues at least transitions 3 and 4 into a single closure. Because of this, your analysis does not distinguish quantum measurement from the throw of a die: in both cases "one of the incompatible alternatives becomes the outcome for a boundary". Interestingly, in §3 you yourself write: "Nor can it be probabilistic, since probabilities presuppose a space of already individuated outcomes" — and with this we fully agree. But for §10.2 to say something about the quantum case that is not already present in classical probability, these two transitions need to be separated.

7. Point 6. Deinon has no history: identical closures reached by different paths are indistinguishable

What the text says

In Deinon a closure has a boundary and a place in an ordering (§8: "time is identified with the ordering of closed differences themselves"). Axiom 5: alternatives "are excluded relative to that boundary without being eliminated from unresolved difference." But the framework does not record the path by which a closure was reached.

An example from relative mathematics: two identical descriptions with different histories

Paper 6 (§2) analyses the same Wigner's-friend-type experiment in two steps.

Step one. The outside observer imagines himself inside and writes down the state with a definite outcome. The records coincide mathematically but still differ operationally (the hundred-laboratories example, see point 3).

Step two. The inside observer, who has seen the outcome, imagines that he knows nothing and writes down a superposition — exactly as the outside observer does. Now the descriptions are identical both mathematically and operationally: no protocol of the present moment can tell them apart, because the one who imagines faithfully reproduces exactly the state of ignorance in which the outside observer actually is.

And yet these are different tasks. The outside observer arrived at his description without a single transition: he simply does not know. The inside observer arrived at the same description through transitions: first he obtained knowledge (from the probabilistic description to the outcome), then he deliberately discarded it (a transition that breaks the link between the description and reality). And if he later returns to his knowledge, he will have not to "remember" it but to introduce it into the reasoning anew — one more transition. The number of transitions of these two descriptions is different, and it cannot be evened out after the fact.

Why this is unclear in Deinon

Deinon has no notion of re-opening an already closed contrast. So there is nothing to distinguish "never closed" from "closed, and then imagined as open". In the framework both cases look like an unclosed contrast relative to a boundary. Here Deinon is blind in the same way as the paraconsistent "chunk and permeate" strategy (Brown & Priest) and Contextuality-by-Default (Dzhafarov & Kujala): none of them keeps the history of the reasoning.

What could be clarified

What needs to be kept is the path to the closure — the history of transitions. In the examples of paper 6 (§2, §8) the number of transitions is enough for this: it differs, it cannot be evened out after the fact, and it already distinguishes identical descriptions. But in general a number alone is not enough. What decides is what exactly each participant has done, and by which moment.

Example. Three observers prove theorems of Euclidean geometry. The first has proved ten, the second three, the third has not had time to begin. Then new knowledge enters: the parallel axiom is replaced, and all three continue under the rules of the other geometry. Each has crossed the same single boundary, so the counters are equal. Yet their constructions are different and must be treated as different. If the first has proved that the angles of a triangle sum to 180°, the second and the third, continuing, may refute him. New knowledge comes at a definite moment, and its consequences depend on what each participant had managed to do by then.

So the framework needs not only an ordering of closures but also a record of what each participant has actually constructed before each transition.

8. Point 7. Mathematical determinacy through "formal coherence"

What the text says

§10.5: "Mathematical objects count as determinate relative to formal boundaries of coherence, while physical states count as determinate relative to measurement or interaction boundaries."

Why this is unclear

Formal coherence by itself registers nothing. A mathematical object becomes determinate when someone has constructed it.

An example from relative mathematics

Paper 6 (§2): suppose ten theorems are to be proved in an experiment. One participant proved all ten, the second proved three, the third overslept and has not started yet. Traditional mathematics gives one description for all three situations: a list of theorems that are true independently of anyone's actions. Relative mathematics gives three different descriptions — according to what has actually been constructed: one cannot speak about an unproved theorem, since its construction does not yet exist.

R. Berezuiev's book Relative Mathematics (2026, in Ukrainian) considers the simplest physical property of mathematical symbols — the authorship index: who wrote the symbol, when, and with what. One can abstract from it, but one cannot get rid of it: every symbol was written by someone. If a symbol is erased and the same symbol is written by another participant, the mathematical content has not changed, but the authorship index has. The value of the index cannot be set by an axiom in advance and cannot be derived from the construction — it can only be measured during the construction. This is the simplest example of knowledge of the third type.

What could be clarified

If mathematical determinacy is the result of construction by a specific participant, then the thesis of §10.5 about the "resonance of mathematics and physics" changes its shape: what coincide are not two structural domains but two series of constructions, each with its own participants and its own history of transitions. Whether this explains the "resonance" is a separate question, but at least the boundary of "formal coherence" ceases to be subjectless.

8a. On the later refinement: "a boundary cannot include its own boundary"

What we know from the correspondence

After the preprint you refined the notion of fixation: what is new at closure is only that the task's own boundary cannot be included in the task itself. In your latest letter you suggest that this explains why the structure of breaks is the same in every interpretation of quantum mechanics: if a boundary cannot include its own boundary, every construction that tries to be continuous must break somewhere, whichever interpretation one chooses.

As an explanation of why the structure is always the same, this seems to us interesting, and it is honestly offered as a hypothesis rather than a proof. But there are two things this formula does not seem to explain.

The same boundary, different positions

Let us return to the Euclidean example from point 6. The boundary of the Euclidean task is one and the same for all three observers. If what is new at the transition were only the impossibility of including this boundary, all three would end up in the same position after the transition. They do not: the first may be refuted, the second partly, the third has nothing to lose. And further: "not an additional element" — additional or not with respect to what? In each of the three constructions the new axiom was not there before the transition, it could not be derived, and from that moment it is there.

The boundary is not given in advance

The Knower of paper 6 (§8) answers "no" only about what the Non-Knower has no access to. (The wording of §8, "every statement", is too broad here, and we acknowledge this.) If the Non-Knower asks which brand of cigarettes the two of them are smoking, the answer is an ordinary answer with an ordinary truth.

Hence the boundary between the two participants is not given in advance. By indirect reasoning one may or may not reach something, so it is often hard to say whether access exists. The Non-Knower cannot determine where what he can reach ends and where begins what no reasoning of his will reach. The Knower sees this boundary more exactly, but not sharply either. Between them lies a region that the Non-Knower cannot classify as either known or unknown to him — and precisely there, answers can turn out true, unexpectedly for him.

In relative mathematics the boundary is not something that can be stated once and in general: it differs for each pair of participants, it moves with their actions, and it is not seen exactly by anyone. Hence a question to the new formula: where, in closure, is the difference between the brand of cigarettes and the cat?

9. Summary

No.	Place in the preprint	In brief
1	§2, §6.5, Ax. 5, Conclusion	fixation means possibility, fact, compatibility and presupposition; the transition between them is not marked
2	Ax. 6 vs §11.2(4), step 3	coherence of closures needs a standpoint from which both boundaries are visible; the framework forbids such a standpoint; only a participant with concrete access can compare, and that access can be lost
3	§11.2(4), step 2	at the boundary of a claim, what registers is "someone claims X", not X
4	§11.1, §6, footnote 1	the framework "names no acts" but itself consists of the author's acts; footnote 1 is a marked transition
5	§10.2	one fixation glues together at least two different transitions; one of them is shared with classical probability
6	Ax. 5, §8	no history of closures; identical descriptions with different paths are indistinguishable; in general even the number of transitions is not enough — what matters is what was done and when
7	§10.5	mathematical determinacy is given formally, not by construction
8a	refinement from the correspondence	"a boundary cannot include its own boundary" explains why the structure is the same, but not the different positions of participants at one boundary, nor the difference between "the brand of cigarettes" and "the cat"

 

All seven points come down to one observation. What Deinon calls a subjectless structural fact turns out, in the text, to be each time a place where someone specific acts: the author who separates versions of a notion; the participant who compares two boundaries; the one who makes a claim; the detector at which not one but several transitions take place. Relative mathematics proposes not to hide these places but to record them — and it is exactly at these places, in our view, that new knowledge enters the reasoning.

Once more: we do not claim that the Deinon framework is mistaken. We only point to places where, as it seems to us, its formulations could be made more precise, and explain why exactly these places draw attention from the standpoint of relative mathematics.

10. Sources

Papers of the series (all open access):

1. Incompatible Mathematical Descriptions and Hidden Switching Errors in Quantum Thought Experiments. Zenodo, 2026. https://zenodo.org/records/21872320

2. Incompatible Descriptions and the Structural Gap in the Formalism. Quantum Speculations 8(3), 18–28 (2026). https://ijqf.org/archives/8302

3. The Third Type of Mathematical Knowledge and Relative Rigor in Reasoning with Incompatible Descriptions. Zenodo, 2026. DOI 10.5281/zenodo.20720635

4. An Analysis of Bell's Paper within the Special Theory of Relative Mathematics. IJQF 12(3), 516–528 (2026). https://ijqf.org/archives/8336

5. The Structural Limit of the Axiomatic Approach: Hardy's Axioms as an Example. IJQF 12(3), 529–544 (2026). https://ijqf.org/archives/8357

6. Restoring the Status of Formal Contradiction: Einstein and Bohr as Complementary. IJQF 12(3), 768–785 (2026). https://ijqf.org/archives/8402 — the main source of examples in this document (§2, §4, §6, §8).

Other:

·         R. Berezuiev. Relative Mathematics: An Index Dependent on Consciousness, the Limits of Formal Thinking [in Ukrainian]. Kyiv, 2026 (authorship index, point 7).

·         D. N. Klyshko. Basic concepts of quantum physics from an operational viewpoint. Physics-Uspekhi 41(10), 885–922 (1998).

·         A. I. Lipkin. Foundations of Modern Natural Science: A Model View of Physics, Synergetics, and Chemistry [in Russian]. Moscow, 2001.

·         B. Brown, G. Priest. Chunk and Permeate, a Paraconsistent Inference Strategy. Part I. Journal of Philosophical Logic 33(4), 379–388 (2004).

·         E. N. Dzhafarov, J. V. Kujala. Context–content systems of random variables: The Contextuality-by-Default theory. Journal of Mathematical Psychology 74, 11–33 (2016).