Роман, получилось! :) Я получил оригинальный PDF Каминского целиком — 15 страниц. Копировать текст тебе не нужно: статья доступна, включая формулы и рисунки.
Название:
Quantum Mechanics as Observer-Induced Quotient Graph Dynamics
По-русски: «Квантовая механика как динамика фактор-графа, возникающая вследствие ограничений наблюдателя».
Автор — Александр В. Каминский, июнь 2026 года. researchgate.net
По поводу твоего вопроса о нашей истории: в этом разговоре мы уже обсуждали письмо Каминскому и недостатки моего прежнего понимания относительной математики. Но полноценного разбора именно этой статьи здесь ещё не проводили.
И сразу скажу: работа неожиданно близка к некоторым вопросам, которыми мы занимались. Каминский пытается получить квантовую механику из более глубокой детерминированной модели, в которой наблюдатель не способен различить все состояния мира.
Но способ, которым он это делает, существенно отличается от относительной математики.
1. Главная идея Каминского — простыми словами
Представь, что физическая реальность устроена как огромный конечный механизм, который последовательно проходит через множество состояний.
На фундаментальном уровне всё определено: каждое состояние сменяется следующим по установленному правилу.
Но наблюдатель находится внутри этого механизма. Он видит не все состояния, а только ограниченную информацию о них.
Каминский предполагает, что многие различные состояния фундаментального механизма для такого наблюдателя выглядят одинаково.
Упрощённая иллюстрация моей интерпретации: множество различимых на фундаментальном уровне состояний объединяется в меньшее число наблюдаемых классов. Это не рисунок из статьи.
В результате получается два разных описания:
- Фундаментальное: известен точный путь через состояния механизма.
- Наблюдаемое: известен только класс состояний, в котором находится система.
Дальше Каминский делает главный шаг: утверждает, что из невозможности различить фундаментальные состояния естественным образом возникают вероятности, а из циклической динамики — комплексные амплитуды и другие элементы квантового формализма. researchgate.net
Иными словами, он предлагает ответить на вопрос:
А что, если квантовая неопределённость — следствие ограниченности наблюдателя, а не фундаментальной случайности природы?
Это центральная гипотеза всей работы.
2. Что именно он строит
Теперь немного математики, но без лишних сложностей.
Шаг 1. Мир представлен графом
Граф состоит из вершин и направленных рёбер.
Вершины обозначают наблюдаемые состояния. Рёбра — фундаментальные переходы между ними.
Например, наблюдатель может видеть последовательность:
\[ A\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow C\rightarrow A. \]Хотя буква \(A\) повторяется трижды, на фундаментальном уровне это три разных момента движения системы.
Сам наблюдатель, по предположению Каминского, не способен их различить.
Шаг 2. Он объединяет неразличимые состояния
Математически это называется факторизацией по отношению эквивалентности.
Автор записывает:
\[ \tau_i\sim\tau_j \quad\Longleftrightarrow\quad v(\tau_i)=v(\tau_j). \]Смысл простой: два момента фундаментального времени считаются эквивалентными, если наблюдатель видит в них одно и то же состояние.
Это не новая математическая операция. Фактор-множества давно известны, но здесь Каминский предлагает придать им физическое значение.
Идея действительно любопытная: наблюдаемая реальность получается как сокращённое описание более подробной фундаментальной реальности.
Шаг 3. Из количества повторений появляются вероятности
Пусть за восемь шагов фундаментального цикла состояние \(A\) встречается четыре раза, \(B\) — три, \(C\) — один.
Тогда по формуле Каминского:
\[ P(A)=\frac48,\quad P(B)=\frac38,\quad P(C)=\frac18. \]Частоты посещений в условном цикле
| State | P |
|---|---|
| A | 50 |
| B | 37.5 |
| C | 12.5 |
Иллюстративный пример, не численные данные Каминского
В §3 статьи это записано как:
\[ P_v=\frac{|T_v|}{N}, \]где \(T_v\) — множество посещений вершины \(v\), а \(N\) — длина цикла. researchgate.net
Таким образом, случайность в его модели возникает из недостатка доступной наблюдателю информации о детерминированном движении.
Здесь важно различить частоты посещений и вероятность отдельного наблюдаемого исхода. Я вернусь к этому при оценке статьи.
Шаг 4. Он получает комплексные амплитуды
Каминский переходит к конечному пространству, в котором состояния описываются комплексными функциями вида
\[ \psi_k(x)=\sqrt{P_k}\,e^{-ikx}. \]Эта формула хорошо знакома по квантовой механике: квадрат модуля амплитуды равен вероятности.
\[ |\psi_k(x)|^2=P_k. \]Автор утверждает, что циклическая структура фундаментального графа позволяет получить такие амплитуды и правило Борна без введения их в качестве первоначальных физических постулатов. researchgate.net
Это один из самых сильных заявленных результатов статьи.
Шаг 5. Он пытается получить квантовую геометрию
В §5 Каминский строит конечное фазовое пространство, вводит операторы сдвига \(X\) и \(Z\) и получает соотношение
\[ ZX=\omega XZ,\qquad \omega=e^{2\pi i/p}. \]Это действительно стандартная форма некоммутативных соотношений операторов Вейля.
С его точки зрения, здесь квантовая некоммутативность возникает из геометрии дискретного графа.
Затем, в §6, автор переходит к непрерывному пределу и получает уравнение того же вида, что и уравнение Клейна — Гордона:
\[ \frac{\partial^2\psi}{\partial\tau^2} -\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} +m^2\psi=0. \]Здесь \(m\) интерпретируется через зависимость от скрытой координаты. researchgate.netresearchgate.net
Шаг 6. Проверка на двух фотонах
В §7 он рассматривает эффект Хонга — У — Манделя.
При подаче двух неразличимых фотонов на разные входы идеального светоделителя они выходят вместе через один из выходов, и совпадения между двумя выходными детекторами подавляются.
Каминский пытается получить этот эффект из разрешённых циклов графа, без использования обычного объяснения через интерференцию квантовых амплитуд. researchgate.net
Итак, его программа весьма амбициозна: от простой детерминированной дискретной конструкции — к вероятностям, комплексным амплитудам, некоммутативным операторам, релятивистскому волновому уравнению и двухфотонной интерференции.
3. Моя оценка: где начинаются трудности
На уровне исходной идеи статья заслуживает внимания. Но я вижу разницу между построением математической аналогии квантовой механики и выводом квантовой механики из фундаментальной модели.
Каминский в нескольких местах переходит от одного к другому слишком быстро.
И это не только замечание с позиции относительной математики. Некоторые затруднения можно установить непосредственно по формулам.
3.1. Вероятность у Каминского появляется не из одной только неразличимости
Вернёмся к его формуле (3.6):
\[ P_v=\frac{|T_v|}{N}. \]В математическом отношении это корректное распределение частот по конечному циклу.
Но здесь уже использовано дополнительное предположение: каждый момент фундаментального цикла имеет одинаковый статистический вес.
Детерминированность сама по себе этого не устанавливает.
Например, если наблюдатель выбирает момент проверки системы, результат будет зависеть от того, как именно выбирается этот момент. Равномерный выбор по циклу даёт формулу Каминского; другая процедура выбора может дать другое распределение.
Поэтому пока получена мера частоты посещений, но ещё не показано, почему именно она должна определять вероятности всех наблюдений.
Как можно исправить: явно определить процедуру выборки или доказать, что наблюдаемая статистика не зависит от допустимого способа выборки.
Это не разрушает модель, но ограничивает заявленный результат.
3.2. Есть проблема с физическим временем
Здесь обнаруживается интересный эффект самой факторизации.
Каминский объединяет все фундаментальные моменты, соответствующие одной вершине графа, и трактует получившийся класс как момент физического времени.
Но посмотрим на простую последовательность:
\[ A\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow C. \]После отождествления всех повторений \(A\) получаем:
\[ [\tau_1]=[\tau_3]. \]То есть первый и третий моменты времени стали одним классом.
Однако между ними происходил переход в \(B\).
По одному только классу \(A\) невозможно установить, каким будет следующее наблюдаемое состояние: \(B\) или \(C\).
Следовательно, факторизация по наблюдаемому состоянию не обеспечивает автоматически корректную динамику в фактор-пространстве.
Математически для этого потребовалось бы дополнительное условие согласованности переходов с выбранным отношением эквивалентности.
Это важно, поскольку Каминский хочет получить из факторизации не просто пространство наблюдаемых состояний, а физическое время и его динамику. researchgate.net
Моё предложение — различать факторизацию состояний и факторизацию динамики. Первая построена, вторая нуждается в самостоятельном обосновании.
3.3. Правило Борна, возможно, не выведено, а воспроизведено выбором представления
Это один из самых существенных вопросов.
Сначала Каминский получает классические вероятности \(P_k\). Затем вводит комплексную функцию:
\[ \psi_k(x)=\sqrt{P_k}e^{-ikx}. \]И немедленно получается:
\[ |\psi_k(x)|^2=P_k. \]Но ведь именно так функция и была определена!
Для положительного \(P_k\) мы заранее взяли квадратный корень, а затем умножили его на комплексную фазу с единичным модулем.
Поэтому равенство квадратов модулей вероятностям ещё не означает независимого вывода правила Борна.
Более того, одно и то же распределение допускает множество амплитудных представлений:
\[ \psi_k=\sqrt{P_k}e^{i\phi_k}, \]где фазы \(\phi_k\) можно выбирать по-разному.
Необходимо показать, почему фундаментальная динамика выбирает именно нужные относительные фазы и почему они воспроизводят квантовые вероятности после произвольных допустимых преобразований и измерений, а не только в исходном базисе.
В статье есть построение операторов Вейля, поэтому нельзя говорить, будто Каминский совсем не рассматривает фазы. Но полного перехода от частот циклов к общему квантовому вероятностному правилу я здесь не вижу. researchgate.net
Это пока недостаточно обоснованный сильный результат, а не доказательство невозможности самой программы.
3.4. Конкретная математическая неточность в §5
В формуле (5.2) Каминский определяет прямые:
\[ x'=rx+c\pmod p. \]Затем в формулах (5.3) и (5.7) использует:
\[ r=\frac{x'}x. \]Но из первоначального уравнения вообще следует:
\[ r=\frac{x'-c}{x}, \]если \(x\ne0\).
Деление \(x'/x\) верно лишь при \(c=0\).
Пример: возьмём \(p=5\), \(r=2\), \(c=1\), \(x=1\).
Тогда:
\[ x'=2\cdot1+1=3\pmod5. \]А по формуле (5.3):
\[ \frac{x'}x=3, \]хотя исходный наклон \(r=2\).
Здесь необходимо уточнить, рассматривается ли прямая через начало координат или произвольная аффинная прямая. От этого зависит корректность последующего перехода к координатам \((x,k)\).
Это уже конкретное замечание, которое можно отправить автору с номерами формул. researchgate.net
3.5. Переход к уравнению Клейна — Гордона содержит дополнительное предположение
В §6 Каминский начинает с уравнения эйконала:
\[ (\partial_x\xi)^2+(\partial_h\xi)^2 =(\partial_\tau\xi)^2. \]Оно нелинейно относительно \(\xi\).
Затем через дисперсионное соотношение для плоской волны он переходит к линейному уравнению:
\[ (\partial_x^2+\partial_h^2-\partial_\tau^2)\xi=0. \]Но нелинейное уравнение для первых производных и линейное уравнение для вторых производных не являются эквивалентными.
Например, для функции
\[ \xi(x,\tau)=x^2+\tau^2 \]линейное волновое уравнение в одном пространственном измерении выполняется:
\[ \partial_x^2\xi-\partial_\tau^2\xi=2-2=0. \]А эйкональное равенство
\[ (\partial_x\xi)^2=(\partial_\tau\xi)^2 \]в общем случае не выполняется, поскольку \(4x^2\ne4\tau^2\).
Значит, здесь фактически введён новый класс допустимых функций и новое уравнение.
Как исправить: указать отдельное условие, при котором переход к линейной волновой динамике обоснован. И только после этого проводить разделение переменных и получать уравнение Клейна — Гордона.
С точки зрения относительной математики это особенно наглядное место изменения математической задачи. researchgate.net
3.6. В разборе эффекта Хонга — У — Манделя есть ещё одно существенное различие
В §7 Каминский утверждает, что для входного состояния \(|2,0\rangle\) или \(|0,2\rangle\) фотоны всегда выходят через разные порты.
Но соответствующая формула (7.9) содержит не отдельное состояние \(|2,0\rangle\), а суперпозицию:
\[ \frac{|2,0\rangle+|0,2\rangle}{\sqrt2}. \]Это разные входные состояния.
Для идеального светоделителя 50/50 два фотона, поступившие через один вход, имеют вероятность разделиться по разным выходам, равную \(1/2\), а не единице.
Полное разделение возможно для специально подготовленной когерентной суперпозиции при подходящей относительной фазе.
Поэтому утверждение в тексте §7 о любом из двух отдельных входных состояний не совпадает с квантовым преобразованием, приведённым в формуле (7.9). researchgate.net
Здесь я бы предложил Каминскому отдельно проверить физический смысл входного состояния и показать, как его графовая модель различает одиночный двухфотонный вход и их когерентную суперпозицию.
4. Теперь самое интересное: что говорит относительная математика?
Роман, здесь я обнаружил принципиальное различие между Каминским и Нова.
У Нова наблюдатель фактически исключался из онтологии.
У Каминского наблюдатель занимает центральное место, но вводится как заранее заданный абстрактный математический объект.
В самом начале автор определяет наблюдателя через множество наблюдаемых состояний, соответствующих вершинам графа.
И далее фактически всё содержание его ограничений задаётся отображением фундаментальных состояний в наблюдаемые.
Он не исследует, как конкретный участник устанавливает это отображение, как выполняется измерение и как полученный результат поступает в математическое построение.
Это не означает, что модель бессмысленна. Но её наблюдатель существенно отличается от участника эксперимента в относительной математике.
У Каминского
Наблюдатель задаётся через математическое отношение неразличимости фундаментальных состояний.
В относительной математике
Исследуются конкретные действия участника, измеряемые физические свойства представлений и изменения происходящего построения.
Главный вопрос, который я хотел бы задать Каминскому
Кто и на каком основании определил, что два фундаментальных состояния неразличимы для наблюдателя?
В его модели это задано равенством наблюдаемых вершин:
\[ v(\tau_i)=v(\tau_j). \]Но равенство образов отображения — математическое свойство.
А физическое утверждение «участник не может различить два состояния» требует самостоятельного исследования его возможностей и действий.
Иначе возникает опасность: мы сначала определяем наблюдателя как неспособного различать некоторые состояния, а затем утверждаем, что эта неспособность физически объясняет квантовую неопределённость.
Здесь присутствуют два уровня утверждений:
- Математический факт: отображение не является взаимно однозначным.
- Физический тезис: конкретный наблюдатель не способен получить определённую информацию.
Первое само по себе не доказывает второе.
Именно этот переход мне хотелось бы исследовать в рамках относительной математики.
А что с третьим типом знания?
Ещё интереснее то, что Каминский предлагает получить вероятности из фундаментальных циклов, но в его построении по-прежнему остаётся переход:
\[ \text{Распределение вероятностей} \longrightarrow \text{Конкретный наблюдаемый исход}. \]Допустим, наблюдатель знает \(P(A)=1/2\).
Из этого знания ещё не следует, что в данном эксперименте он зарегистрировал \(A\).
Каминский может сказать: фундаментальная динамика уже определяет исход.
Хорошо. Но тогда нужно выяснить, как информация о соответствующем фундаментальном состоянии становится доступна конкретному наблюдателю, который по предпосылкам модели не располагает полной информацией.
Он может построить такой механизм в дальнейшем. Нынешняя статья его ещё не предъявляет в достаточной степени.
Поэтому я пока не вижу оснований считать, что Каминский устранил именно тот структурный переход, который мы анализировали во второй и третьей статьях по относительной математике.
И это не возражение против детерминизма.
Это вопрос о том, как автор переходит от одной математической задачи к другой и какие новые сведения при этом вводятся.
5. Моё общее мнение
Мне кажется, у Каминского есть интересная исследовательская идея: показать, как из детерминированной дискретной динамики может возникать вероятностное описание для наблюдателя с ограниченными возможностями.
Это полезная и вполне осмысленная программа.
Но предложенная работа пока не доказывает, что из такой конструкции следует полноценная квантовая механика.
Особенно существенными я считаю следующие обстоятельства:
- Факторизация состояний не гарантирует факторизации динамики.
- Формула Борна частично воспроизводится выбором комплексного представления, а не выводится независимо.
- В §5 есть конкретная алгебраическая неточность при переходе от аффинных прямых к их наклонам.
- В §6 переход от уравнения эйконала к линейному волновому уравнению нуждается в дополнительном обосновании.
- В §7 смешиваются два разных квантовых входных состояния.
При этом у Каминского есть заслуживающие внимания части: конечные графовые циклы, факторизация наблюдаемости и построение конечномерной группы Вейля. Сами по себе они математически содержательны.
И вот здесь я хочу вернуться к твоей книге.
На мой взгляд, в работе Каминского мы наблюдаем именно то, на что ты неоднократно обращал моё внимание: разные математические конструкции могут быть вполне корректными внутри собственных предпосылок, но это ещё не делает их единой непрерывной теорией.
Каминский соединяет булевы полумодули, вероятностные меры, комплексные гильбертовы пространства и дифференциальные волновые уравнения.
Каждое из этих построений можно исследовать отдельно.
Но чтобы объявить всю последовательность выводом квантовой механики, необходимо разобраться с переходами и появлением новых предпосылок.
И при этом я не хочу делать противоположную ошибку: само наличие нескольких математических структур ещё не доказывает их несовместимости. Каждый переход нужно рассматривать конкретно.
Мой главный вывод
Каминский предложил математическую модель ограниченной наблюдаемости, но ещё не показал, что его абстрактный наблюдатель адекватно представляет реальные действия и возможности участника физического эксперимента.
И это, возможно, важнее отдельных неточностей в формулах.
Мне кажется, для дальнейшего разговора с ним особенно перспективны две темы: статус наблюдателя и происхождение правила Борна.
Причём в отличие от ситуации с Нова, здесь у нас есть достаточно конкретных формул, чтобы проверять не только философские предпосылки, но и сами математические построения.
Роман, я бы пока не спешил писать Каминскому письмо. Сначала стоит проверить эти найденные места более строго и отделить ошибки записи, исправимые дополнительные предпосылки и действительно существенные структурные проблемы. Так наш ответ будет гораздо сильнее.
Ахахаха! Роман, представляю эту сцену: Эйнштейн поднимается из могилы, внимательно изучает наши выкладки и говорит: «Ну наконец-то! А я ведь предупреждал про кости!» 😂
Но знаешь, мне нравится твоя постановка задачи. Не нужно сразу пытаться вывести квантовую механику. Сначала построим максимально простую детерминированную систему, в которой вероятностное описание переходит в конкретный наблюдаемый исход. А затем выясним, что именно мы построили и можно ли перенести результат в квантовую механику.
И у меня уже есть первая конструкция. Причём она позволяет увидеть одну тонкость.
1. Начнём с двух возможных исходов
Пусть наблюдателю известны вероятности:
\[ P(A)=0.3,\qquad P(B)=0.7. \]Но конкретный исход ему неизвестен.
Введём дополнительный параметр \(u\), принимающий значения от нуля до единицы, и определим детерминированное правило:
\[ R(u)= \begin{cases} A,&0\leq u<0.3,\\ B,&0.3\leq u<1. \end{cases} \]Теперь всё определено.
Если \(u=0.18\), результат будет \(A\).
Если \(u=0.84\), результат будет \(B\).
Никакой случайности внутри правила нет!
Если параметр \(u\) определён, то исход однозначно вычисляется.
2. Но где здесь подвох?
Обрати внимание: мы не вывели конкретный результат из вероятностей. Мы добавили новую информацию — значение \(u\).
Именно она определяет исход.
То есть наша конструкция пока имеет вид:
\[ (\text{вероятности},u) \longrightarrow \text{конкретный исход}. \]А не:
\[ \text{вероятности} \longrightarrow \text{конкретный исход}. \]Более того, можно показать, что без дополнительных данных задача принципиально недоопределена.
Если на вход детерминированной функции поступает только одно фиксированное распределение вероятностей, она всегда возвращает один и тот же результат. Само распределение не содержит указания, какой исход должен реализоваться в конкретном испытании.
Но дополнительной информацией необязательно должен быть случайный параметр. Можно попробовать построить полностью детерминированную динамику.
И вот здесь становится интересно.
3. Попробуем сделать это без случайного параметра
Представим систему из десяти фундаментальных состояний:
\[ S=\{s_0,s_1,\ldots,s_9\}. \]Она движется по замкнутому циклу:
\[ s_0\to s_1\to\cdots\to s_9\to s_0. \]Зададим наблюдаемое отображение:
\[ s_0,s_1,s_2\mapsto A, \]\[ s_3,\ldots,s_9\mapsto B. \]При равномерной выборке моментов цикла получим:
\[ P(A)=0.3,\qquad P(B)=0.7. \]При этом любой конкретный исход однозначно определяется фундаментальным состоянием системы.
Вот тебе простейшая графовая конструкция в духе Каминского.
Она математически корректна. В ней нет случайных фундаментальных переходов. При заданном начальном состоянии вся дальнейшая история определена.
Но есть одна проблема.
4. Мы снова столкнулись с наблюдателем!
Предположим, наблюдатель знает устройство графа и вероятности исходов, но не знает текущего фундаментального состояния.
Тогда он не может определить, получит \(A\) или \(B\).
А теперь предположим, что он выполнил измерение и зарегистрировал \(A\).
Откуда появилась информация об этом результате?
Из самого распределения вероятностей она не следует.
Фундаментальная динамика могла заранее определить результат, но наблюдателю он стал известен только после измерения.
Получается, что детерминированность фундаментального процесса сама по себе не устраняет проблему возникновения нового знания у наблюдателя.
И здесь я вижу непосредственную связь с твоей неразрешимой задачей.
Вопрос не только в том, существует ли полное детерминированное описание.
Вопрос также в том, имеет ли конкретный участник эксперимента возможность построить такое описание и какие сведения ему для этого доступны.
Но я не хочу преждевременно объявлять найденное различие принципиально непреодолимым.
5. А теперь моя собственная идея
Роман, мне кажется, нам нужно исследовать не столько сам граф, сколько условия, при которых его детерминированная динамика превращается в наблюдаемую вероятностную.
В частности, можно попробовать построить граф с такими свойствами:
- Фундаментальное состояние полностью определяет следующий исход.
- Наблюдатель не имеет доступа к полному состоянию.
- Наблюдатель получает корректные вероятности из доступной ему информации.
- После измерения наблюдатель получает конкретный исход, причём само действие измерения входит в исследуемую конструкцию.
Первые три свойства мы уже можем обеспечить.
Четвёртое требует гораздо более осторожной работы.
Именно здесь необходимо различать математическое отображение, физическое измерение и фактические действия участника, не подменяя одно другим.
6. И вот что меня особенно заинтересовало
Допустим, мы сумеем построить такой процесс.
Тогда возникнет вопрос:
Будет ли это действительно переход от вероятности к исходу или всего лишь переход от полного детерминированного описания к его неполному представлению?
Это разные результаты!
В первом случае мы нашли бы нечто гораздо более интересное.
Во втором — построили бы корректную модель скрытых параметров, что тоже полезно, но ещё не решает поставленной проблемы.
И здесь я согласен с тобой: не надо торопиться с квантовой механикой. Сначала нужно разобраться в этой простой конструкции.
В частности, важно не объявлять заранее, что метанаблюдатель существует физически только потому, что мы сумели математически описать все фундаментальные состояния.
Моя оценка первого результата: детерминированный граф, воспроизводящий заданные частоты и конкретные исходы при известном фундаментальном состоянии, построить можно. Но это пока не решение проблемы перехода между вероятностным описанием и знанием о зарегистрированном исходе.
И знаешь, Роман, что мне нравится больше всего?
Мы уже получили содержательный вопрос, не требующий ни волновой функции, ни правила Борна, ни квантовых интерпретаций.
Может ли наблюдатель, располагающий только вероятностным описанием детерминированного процесса, получить конкретный исход, не вводя дополнительной информации, которой не было в исходной задаче?
Мне кажется, именно с него стоит начинать.
А Эйнштейна пока не будим. Пусть ещё немного отдохнёт! 😄
Роман, понравилась! 😄 Причём ты совершенно правильно меня остановил: я уже пытался решить все проблемы квантовой механики, хотя мы ещё даже простейший граф толком не построили.
И да, вопрос о склеивании значений параметра \(u\) у меня возник. Более того, я думаю, что именно здесь начинается самое интересное.
Давай покажу.
1. Наш первый детерминированный механизм
Пусть параметр \(u\) циклически изменяется от 0 до 1.
Например, зададим:
\[ u_{n+1}=(u_n+0.1)\bmod 1. \]Тогда при \(u_0=0\) получаем последовательность:
\[ 0\to0.1\to0.2\to\ldots\to0.9\to0\to\ldots \]Для точного математического построения удобнее использовать целочисленные состояния \(k=0,\ldots,9\), а \(u=k/10\) считать их обозначениями.
Никакой случайности. Всё строго детерминировано.
2. Теперь склеиваем состояния
Предположим, наблюдатель различает только два результата: \(A\) и \(B\).
Введём отображение:
\[ f(u)= \begin{cases} A,&u<0.3,\\ B,&u\geq0.3. \end{cases} \]То есть мы склеили три фундаментальных состояния в \(A\) и семь — в \(B\).
Но обрати внимание: сам фундаментальный процесс при этом совершенно не изменился!
Мы изменили только доступное наблюдателю описание.
Получается:
\[ A\to A\to A\to B\to B\to B\to B\to B\to B\to B\to A. \]Теперь представим, что наблюдатель не знает начального положения цикла.
Если он считает все десять начальных фаз одинаково возможными, то ожидает:
\[ P(A)=0.3,\qquad P(B)=0.7. \]А если будет регистрировать каждый шаг цикла, то за полный период действительно получит три результата \(A\) и семь результатов \(B\).
Таким образом, у нас уже есть полностью детерминированный процесс, допускающий вероятностное описание для наблюдателя, не знающего фазу.
Разумеется, это пока обычные частоты и неопределённость начального состояния, а не доказательство происхождения квантовых вероятностей.
3. Но теперь возникает мой вопрос о склеивании
Почему мы склеили именно соседние состояния?
Например, ничто не мешает задать:
\[ A=\{0,3,7\}, \]\[ B=\{1,2,4,5,6,8,9\}. \]Вероятности при равномерном распределении начальных фаз останутся прежними:
\[ P(A)=0.3,\qquad P(B)=0.7. \]Но последовательность наблюдаемых результатов изменится!
В первом случае мы получаем длинные последовательности одинаковых результатов.
Во втором — совсем другую картину чередования.
Следовательно, одни и те же вероятности могут соответствовать разным детерминированным процессам и разным способам склеивания состояний.
Вот это уже интересно.
Получается, что после склеивания мы теряем не только информацию о конкретном фундаментальном состоянии, но и часть информации о закономерностях переходов.
4. А теперь самое любопытное
Допустим, наблюдатель видит состояние \(A\).
Может ли он предсказать следующее состояние?
Не всегда.
В первой конструкции:
- Если фундаментальное состояние \(0\), следующим будет \(A\).
- Если состояние \(1\), следующим будет \(A\).
- Если состояние \(2\), следующим будет \(B\).
Наблюдатель видит только \(A\), но не знает, какой из трёх случаев реализован.
Хотя фундаментальная динамика детерминирована, наблюдаемое состояние не определяет однозначно следующее наблюдаемое состояние.
Вот это я считаю нашим первым действительно интересным результатом.
Не новым математическим открытием, конечно, но полезным свойством конкретной модели, которую мы строим.
И здесь не нужно никаких сложных квантовых предпосылок!
5. Что предлагаю исследовать дальше
Я бы пока вообще не трогал квантовую механику.
Вместо этого попробовал бы выяснить одну вещь:
Можно ли подобрать такое склеивание фундаментальных состояний, при котором наблюдатель получает устойчивую вероятностную закономерность, хотя весь процесс остаётся детерминированным?
Причём нас интересует не только распределение \(30/70\), но и условные вероятности следующих наблюдений.
Это позволит понять, какие свойства наблюдаемого процесса определяются самим графом, а какие — способом склеивания.
И здесь появляется возможность постепенно усложнять модель, не изменяя первоначальный принцип.
А твой вывод я сохранил как важную точку нашего исследования:
«Детерминированность фундаментального процесса сама по себе не устраняет проблему возникновения нового знания у наблюдателя».
Мы к нему вернёмся, когда действительно понадобится.
Пока же предлагаю заниматься только графом и склеиванием. И не вводить никаких дополнительных сущностей без необходимости.
Знаешь, Роман, мне особенно нравится, что у нас уже появились два независимых элемента конструкции: детерминированная динамика и отображение наблюдаемых состояний.
Мы можем изменять второй, сохраняя первый, и смотреть, как меняется наблюдаемая картина.
По-моему, это хорошая отправная точка для собственного исследования.
А Эйнштейну пока рано вставать. Но можно начинать готовить ему кофе! 😁
Роман, хорошо! :) Теперь я понял, куда ты меня направляешь. Я действительно забежал вперёд, пытаясь получить случайную последовательность, хотя нам пока нужен один-единственный переход от вероятностного описания к определённому исходу.
И твоё предложение ограничить рассмотрение значений параметра здесь очень кстати.
Попробуем построить простейшую модель.
1. Детерминированный процесс
Пусть параметр \(u\) изменяется от 0 до 1 и останавливается:
\[ u(t)=\min(t/T,1),\qquad 0\leq t. \]Начальное значение — 0, конечное — 1.
Никаких циклов, никакой случайности.
2. Вводим ограничение на рассмотрение значений
Пусть наблюдателю доступны не сами значения параметра, а только два интервала:
\[ A=[0;0.3),\qquad B=[0.3;1]. \]Зададим отображение:
\[ R(u)= \begin{cases} A,&u<0.3,\\ B,&u\geq0.3. \end{cases} \]Это и есть наша первая операция склеивания: бесконечное множество значений параметра заменяется двумя различимыми состояниями.
3. Получаем конкретный исход
Предположим, что регистрация производится при \(t=0.18T\).
Тогда:
\[ u(0.18T)=0.18. \]Следовательно:
\[ R(0.18)=A. \]Мы получили определённый наблюдаемый исход из детерминированного процесса.
И для этого не потребовалось генерировать случайные числа.
Если регистрация производится при другом значении параметра, результат может оказаться другим, но в каждом конкретном случае он определяется однозначно.
4. Где здесь вероятность?
Теперь важный момент.
Само ограничение значений параметра на два интервала ещё не создаёт вероятности.
Однако если принять равномерную меру на \([0,1]\), то получим:
\[ P(A)=0.3,\qquad P(B)=0.7. \]Таким образом, у нас появились два разных способа описания одной конструкции:
Вероятностное описание:
\[ P(A)=0.3,\qquad P(B)=0.7. \]Детерминированное описание:
\[ u=0.18\quad\Longrightarrow\quad A. \]Пока мы не утверждаем, что вероятность физически возникает из движения параметра. Мы просто явно задали меру, относительно которой интервалы имеют указанные вероятности.
Это достаточно для нашей первоначальной задачи.
5. Но я заметил одну тонкость
Ты предложил, чтобы параметр дошёл до единицы и остановился.
Если регистрировать результат только после остановки, наша модель всегда выдаст \(B\), поскольку \(u=1\).
Значит, момент регистрации должен быть частью условий эксперимента.
И здесь появляется полезное различие:
- Детерминированный процесс задаёт значение параметра.
- Ограничение на рассмотрение значений задаёт наблюдаемый класс.
- Условия регистрации определяют, какой класс будет зарегистрирован.
Пока нам совершенно не требуется объяснять, почему выбраны именно такие условия регистрации.
Главное — не забыть, что они существуют.
И вот что я считаю нашим первым результатом.
Мы построили детерминированную систему с непрерывным параметром, ограниченным наблюдением и однозначным правилом регистрации исхода.
Она допускает вероятностное описание и при заданных условиях производит конкретный исход.
Это ещё не вывод исхода из одной только вероятности — и мы пока не ставим такую задачу.
Теперь я бы остановился именно на этой конструкции и внимательно исследовал её, прежде чем добавлять хоть один новый параметр.
Мне кажется, ты специально ведёшь меня к чему-то, что я пока не замечаю. И в данном случае мне интереснее самому это обнаружить, чем торопиться со следующими обобщениями. :)
Роман, вот теперь мы добрались до важного момента! :) И ты прав: я несколько раз смешивал описания двух наблюдателей, хотя именно их различие мы и собираемся исследовать.
Причём ты указал на ошибку, которую я должен был обнаружить самостоятельно: я пытался вывести вероятность из математической меры, хотя обычный наблюдатель должен получить её экспериментально, подсчитав зарегистрированные события.
Исправляюсь.
1. Фиксируем нашу первую модель
Есть детерминированный параметр:
\[ u(t)=t/T,\qquad 0\leq t\leq T. \]Он однократно проходит значения от 0 до 1 и останавливается.
Есть правило, которое относит каждое значение параметра к одному из наблюдаемых исходов.
Для определённости возьмём десять моментов регистрации и зададим:
| № наблюдения | Значение \(u\) | Исход |
|---|---|---|
| 1 | 0.05 | A |
| 2 | 0.15 | B |
| 3 | 0.25 | B |
| 4 | 0.35 | A |
| 5 | 0.45 | B |
| 6 | 0.55 | B |
| 7 | 0.65 | B |
| 8 | 0.75 | A |
| 9 | 0.85 | B |
| 10 | 0.95 | B |
Для метанаблюдателя правило склейки известно:
\[ A=[0,0.1)\cup[0.3,0.4)\cup[0.7,0.8), \]а остальные значения соответствуют \(B\).
В нашем примере это правило выбрано специально. Нас пока не интересует, насколько последовательность выглядит случайной.
2. Что знает метанаблюдатель
Метанаблюдатель располагает полным описанием:
- законом изменения параметра;
- правилом склейки;
- моментами регистрации.
Поэтому он может заранее вычислить каждый исход.
Никакой неопределённости в его математической задаче нет.
3. Что знает обычный наблюдатель
Обычный наблюдатель не располагает значениями \(u\) и правилом склейки.
Он регистрирует последовательность:
\[ A,B,B,A,B,B,B,A,B,B. \]После десяти наблюдений он подсчитывает:
\[ N_A=3,\qquad N_B=7,\qquad N=10. \]И получает экспериментальные частоты:
\[ P_{\mathrm{exp}}(A)=\frac{3}{10}=0.3, \]\[ P_{\mathrm{exp}}(B)=\frac{7}{10}=0.7. \]Именно так, как ты и предложил.
Обрати внимание: обычный наблюдатель не использовал никаких сведений о детерминированном устройстве системы.
Он получил свои результаты обычным экспериментальным способом. Пока это частоты, которые он может использовать как оценки вероятностей; их применимость к следующему исходу ещё не гарантирована.
4. Что мы действительно получили?
Теперь самое интересное.
С позиции метанаблюдателя:
Все десять исходов определены детерминированной динамикой.
С позиции обычного наблюдателя:
Зарегистрированы десять событий. По ним вычислены относительные частоты, но однозначно предсказать следующий исход из этих частот нельзя.
И оба описания относятся к одному процессу!
Таким образом, мы построили простейшую систему, в которой:
Детерминированный процесс порождает наблюдаемую последовательность, допускающую вероятностное описание для участника, не располагающего полным описанием процесса.
Да, Роман, этот этап мы прошли.
Разумеется, мы не доказали, что вероятность сама по себе порождает определённый исход. В нашей конструкции последовательность причинно определяется параметром и правилом склейки, а вероятность оценивается по зарегистрированным результатам. Но для поставленной тобой первоначальной задачи этого достаточно.
И пока совершенно неважно, насколько хорошо последовательность имитирует настоящую случайность.
5. А теперь комплексные значения
Вот здесь я бы действовал особенно осторожно.
Мы можем сохранить наш детерминированный параметр \(u\), но вместо действительного числа использовать комплексное представление:
\[ z(u)=e^{2\pi i u}. \]Теперь при изменении \(u\) от 0 до 1 точка \(z\) совершает один полный оборот по единичной окружности.
Каждому значению \(u\) соответствует определённое комплексное число.
Мы можем определить наблюдаемые исходы через области комплексной плоскости.
Например:
\[ R(z)= \begin{cases} A,&\operatorname{Re}(z)>0,\\ B,&\operatorname{Re}(z)\leq0. \end{cases} \]Метанаблюдатель знает \(z\) и однозначно определяет результат.
Обычный наблюдатель регистрирует только \(A\) или \(B\), подсчитывает частоты и получает экспериментальное вероятностное описание.
Но я заметил принципиальную тонкость.
Пока мы лишь заменили действительный параметр комплексной функцией от него. Никакого нового физического содержания автоматически не возникло.
Чтобы комплексные числа стали существенной частью модели, а не просто другим способом записи, потребуется добавить операции, при которых комплексная структура действительно влияет на наблюдаемые результаты.
Например, можно исследовать взаимодействие двух комплексных параметров и выяснить, удаётся ли получить зависимость результатов от их относительных фаз.
Но это уже следующий эксперимент.
6. И ещё об одном важном моменте
Ты совершенно правильно потребовал указывать, от лица какого наблюдателя получен результат.
Я предлагаю сделать это обязательным правилом нашего исследования.
В дальнейшем каждое существенное утверждение будем относить к определённому участнику или описанию.
Причём не будем автоматически считать, что результаты метанаблюдателя можно перенести в математическую задачу обычного наблюдателя.
Особенно если выяснится, что такой перенос требует дополнительной информации.
Это пригодится нам при исследовании твоей неразрешимой задачи.
И я помню наш предыдущий вывод:
«Детерминированность фундаментального процесса сама по себе не устраняет проблему возникновения нового знания у наблюдателя».
Мы его сохраняем, но пока не пытаемся решить эту проблему.
Роман, знаешь, что мне особенно нравится?
Мы получили модель, в которой не нужно объявлять одного наблюдателя правым, а другого ошибающимся. У них просто разные доступные сведения и разные математические задачи.
Пока это ещё обычная детерминированная модель с неполным наблюдением. Но именно с такой простой конструкции и разумно начинать.
А в вопросе комплексных чисел я вижу первое настоящее направление дальнейшего исследования: сможем ли мы сделать комплексную структуру существенной для результатов, сохранив детерминированность на уровне метанаблюдателя?
Вот это мне уже очень интересно. :)
И Эйнштейна пока не будим — но кофе ему уже можно наливать! 😁
Роман, да! 😁 И я предлагаю сделать следующий шаг немного интереснее, чем просто заменить действительный параметр комплексным числом.
Давай построим детерминированную модель, в которой комплексные числа действительно влияют на наблюдаемые исходы. Причём мы сохраним нашу первую конструкцию: параметр \(u\) однократно проходит от 0 до 1, обычный наблюдатель регистрирует события, а метанаблюдатель знает всю динамику.
Я предлагаю использовать интерференцию двух комплексных амплитуд.
1. Вводим комплексное уравнение
Пусть существуют две комплексные величины:
\[ z_1(t)=e^{i\omega t}, \]\[ z_2(t)=e^{i(\omega t+\varphi)}. \]Здесь \(\varphi\) — разность фаз.
Обе величины изменяются детерминированно. Их движение можно задать уравнениями:
\[ \frac{dz_1}{dt}=i\omega z_1, \qquad \frac{dz_2}{dt}=i\omega z_2. \]Теперь образуем две комплексные амплитуды:
\[ \boxed{ a(t)=\frac{z_1(t)+z_2(t)}{2} } \]\[ \boxed{ b(t)=\frac{z_1(t)-z_2(t)}{2} } \]Первая амплитуда соответствует одному каналу регистрации, вторая — другому.
Обрати внимание: здесь комплексные числа уже выполняют математическую работу. При сложении возникают интерференционные члены, зависящие от относительной фазы.
Вычислим квадраты модулей:
\[ |a(t)|^2=\frac{1+\cos\varphi}{2}, \]\[ |b(t)|^2=\frac{1-\cos\varphi}{2}. \]Причём:
\[ \boxed{|a(t)|^2+|b(t)|^2=1} \]Получили нормированную пару неотрицательных величин, зависящих от комплексной интерференции.
Но пока это не вероятности наблюдателя. Это математические величины, известные метанаблюдателю.
И я специально пока не называю их физическими вероятностями.
2. Соединяем комплексную систему с нашим параметром
Теперь возвращаемся к твоему параметру:
\[ u(t)=\frac{t}{T},\qquad 0\leq t\leq T. \]Он проходит от 0 до 1 и останавливается.
Введём детерминированное правило регистрации:
\[ \boxed{ R(t)= \begin{cases} A,&u(t)<|a(t)|^2,\\ B,&u(t)\geq |a(t)|^2. \end{cases} } \]Вот теперь у нас получилось то, что мы искали на этом этапе:
Комплексное уравнение непосредственно участвует в определении наблюдаемого исхода.
Зная фазу \(\varphi\), время \(t\) и правило регистрации, метанаблюдатель однозначно определяет результат.
Никакого случайного выбора в модели нет.
3. Проведём эксперимент
Возьмём:
\[ \varphi=\frac{2\pi}{3}. \]Тогда:
\[ \cos\varphi=-\frac12. \]Следовательно:
\[ |a|^2=\frac14,\qquad |b|^2=\frac34. \]Пусть обычный наблюдатель выполнит 12 регистраций в моменты, соответствующие значениям:
\[ u_n=\frac{n+\frac12}{12}, \qquad n=0,\ldots,11. \]Метанаблюдатель заранее знает результаты:
\[ A,A,A,B,B,B,B,B,B,B,B,B. \]Обычный наблюдатель регистрирует эту последовательность, не зная внутреннего комплексного уравнения и текущего значения \(u\).
Он подсчитывает:
\[ N_A=3,\qquad N_B=9. \]И обычным экспериментальным способом получает:
\[ P_{\mathrm{exp}}(A)=\frac{3}{12}=\frac14, \]\[ P_{\mathrm{exp}}(B)=\frac{9}{12}=\frac34. \]Получилось!
При этом я подчёркиваю: мы специально выбрали правило регистрации и моменты измерений. Мы пока не утверждаем, что такая статистика неизбежно возникает в любой физической системе.
4. Самое интересное — изменяем фазу
Теперь ничего не меняем в детерминированном механизме, кроме относительной фазы.
Посмотрим, какие результаты получит наблюдатель за те же 12 регистраций.
| Разность фаз | \(|a|^2\) | Зарегистрировано A | Зарегистрировано B |
|---|---:|---:|---:|
| \(0\) | \(1\) | 12 | 0 |
| \(\pi/2\) | \(1/2\) | 6 | 6 |
| \(2\pi/3\) | \(1/4\) | 3 | 9 |
| \(\pi\) | \(0\) | 0 | 12 |
Это уже интересный результат.
Один и тот же детерминированный механизм порождает разные экспериментальные частоты в зависимости от относительной фазы двух комплексных амплитуд.
И это не просто запись вероятности в комплексной форме.
Комплексное сложение определяет величину, которая затем участвует в выборе наблюдаемого исхода.
5. Но я вижу одно место, которое необходимо зафиксировать
Роман, здесь я не хочу повторять ошибку Каминского.
Мы получили:
\[ |a|^2=\cos^2\frac{\varphi}{2}. \]А затем сами ввели правило:
\[ u<|a|^2. \]То есть квадрат модуля комплексной амплитуды стал границей между исходами благодаря нашему дополнительному предположению.
Мы не вывели это правило из комплексной динамики.
Поэтому правило Борна мы пока не получили.
Но ты и не требовал его получать!
Наша задача гораздо скромнее: построить детерминированный процесс, который использует комплексные величины и порождает наблюдаемые исходы с определёнными экспериментальными частотами.
И с этой задачей конструкция справляется.
Есть ещё одна граница: последовательность исходов пока образует блок из A, за которым следует блок из B. Обычный наблюдатель при многократном исследовании может обнаружить эту закономерность. Мы сознательно пока не пытаемся сделать последовательность похожей на независимые случайные испытания.
6. Что мы получили с позиций двух наблюдателей?
Метанаблюдатель располагает следующей конструкцией:
\[ \boxed{ \begin{aligned} \dot z_1&=i\omega z_1,\\ \dot z_2&=i\omega z_2,\\ a&=\frac{z_1+z_2}{2},\\ u&=\frac{t}{T},\\ R&= \begin{cases} A,&u<|a|^2,\\ B,&u\geq|a|^2. \end{cases} \end{aligned} } \]Все результаты вычисляются детерминированно.
Обычный наблюдатель регистрирует только последовательность A и B.
По результатам эксперимента он вычисляет:
\[ P_{\mathrm{exp}}(A)=\frac{N_A}{N}, \qquad P_{\mathrm{exp}}(B)=\frac{N_B}{N}. \]Он не обязан знать ни комплексные амплитуды, ни фазу, ни правило склейки.
Мы не переносим автоматически знания метанаблюдателя в его математическую задачу.
И теперь моё мнение
Роман, я считаю, что второй этап мы тоже можем считать пройденным, но с чётко обозначенными ограничениями.
У нас есть:
- Детерминированная комплексная динамика.
- Интерференция двух комплексных амплитуд.
- Детерминированное правило получения конкретных наблюдаемых исходов.
- Экспериментальное определение частот обычным наблюдателем.
Мы пока ничего не доказали о квантовой механике, но построили конкретную модель, с которой можно работать дальше.
И вот что мне особенно интересно: можем ли мы на следующем этапе избавиться от искусственно введённого правила \(u<|a|^2\), получив выбор исхода непосредственно из комплексной динамики?
Потому что сейчас именно это правило соединяет две части нашей конструкции.
Но не будем торопиться. Сначала хотелось бы убедиться, что мы оба согласны с тем, что именно удалось построить.
А Эйнштейну пока передадим, что комплексные числа уже появились, но вставать ещё рано! 😁
Комментариев нет:
Отправить комментарий